Раскрытие неопределенностей
Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.
Например, выражение вида $\frac{x^2}{x}$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:
$lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=lim_{x\to 0} x=0$.
Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.
В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.
Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.
Неопределенность вида 0/0.
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке a,\;f(a)=g(a)=0, но g'(a)\neq 0, то, применяя к функциям f и g при n=1, получаем
f(x)=f'(a)(x-a)+o((x-a)),
g(x)=g'(a)(x-a)+o((x-a)),
откуда следует, что\tag{1}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.
Аналогично, если существуют f^{(n)}(a) и g^{(n)}(a) и выполняются условия
f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,
g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,
но g^{(n)}(a)\neq 0, то
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\displaystyle
\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+o((x-a)^n)}{\displaystyle
\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+o((x-a)^n)}=\frac{f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}.
Пример 1.
Найти
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^{10}-2x^{5}-1}{x^{3}-4x^{2}+3}.
\triangle Обозначим f(x)=3x^{10}-2x^5-1, g(x)=x^3-4x^2+3. Тогда f'(x)=30x^9-10x^4, g'(x)=3x^2-8x, f(1)=g(1)=0, f'(1)=20, g'(1)=-5, и по формуле находим, что искомый предел равен -4. \blacktriangle
Теорема 1.
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a,b),\tag{2}
\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=0,\quad\lim_{x\rightarrow a+0}g(x)=0,
\tag{3}
g'(x)\neq 0\ для \ всех \ x\in(a,b),
существует (конечный или бесконечный)\tag{4}
\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A.
Тогда \displaystyle\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)} также существует и равен A, то есть\tag{5}
\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
\circ Пусть x\in(a,b). Доопределим функции f(x) и g(x) в точке a, полагая\tag{6}
f(a)=g(a)=0.
Тогда из условий и следует, что функции f и g непрерывны на отрезке . По существует точка \xi\in (a,x) такая, что\tag{7}
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
Если x\rightarrow a+0, то \xi\rightarrow a+0 и в силу условия существует \displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A. Поэтому из равенства следует, что справедливо утверждение . \bullet
Замечание 1.
Доказанная теорема (с соответствующими изменениями её условий) остается справедливой при x\rightarrow a-0 и x\rightarrow a, где a — конечная точка.
Эта теорема остается в силе и для случая, когда a=+\infty (или a=-\infty), если \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=0,\ g'(x)\neq 0 при x > x_0 и существует \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A; в этом случае \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A. Доказательство этого утверждения основано на использовании замены переменного \displaystyle x=\frac{1}{t} и
Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей
Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$. Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:
$lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to c} \frac{f’(x)}{g’(x)}$
Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.
С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.
Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя
Пример 2
Вычислите предел, используя правило Лопиталя:
$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}$
Решение:
$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}= lim_{x \to 0} \frac{(x^2+5x)’}{(3x)’}=lim_{x \to 0}\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$
Виды неопредлённостей
-
$\frac{0}{0}$ — деление нуля на нуль;
-
$\frac{\infty}{\infty}$ — деление бесконечности на бесконечность;
-
$0 \cdot \infty$ — умножение нуля на бесконечность;
-
$1^{\infty}$ — единица, возведённая в степень бесконечности;
-
$(\infty-\infty$) — разность бесконечностей;
-
$0^0$ — нуль в нулевой степени;
-
$\infty^0$ — бесконечность в степени 0.
Неопределённости вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!