Что такое черное тело?
В 1860 году Густав Кирхгоф дал первую идею черного тела. Он заявил, что
Черное тело — это материал, который способен поглощать и излучать свет любой длины волны или частоты, то есть (e = a = 1). В природе невозможно найти 100% черное тело. Материал, известный как технический углерод, является наиболее близким к реальному черному телу на Земле. Солнце является одним из основных черных тел во Вселенной и излучает свет всех длин волн. Когда черное тело находится в тепловом равновесии, оно испускает излучение черного тела. Излучение черного тела относится к излучению, испускаемому черным телом во всех возможных длинах волн света. Это также известно как излучение полости.
Формула Вина и формула Рэлея—Джинса
Теперь пора вернуться к вопросу, который был поставлен в начале статьи: как получить из теории спектральную функцию, которая описывает распределение энергии излучения по спектру, и как она зависит от температуры?
Прежде всего этот вопрос попробовали решить по аналогии, но аналогия с газом не помогла. Число степеней свободы светового потока, как их ни считай, бесконечно велико, и если на каждую степень свободы выделить по одинаковой порции энергии, скажем по kT (световым волнам разумно сопоставить колебательные степени), то общая энергия будет бесконечной при любой конечной температуре. Рассуждение «по аналогии» приводит нас к абсурдному выводу, что вся тепловая энергия стенок (а за ними и всего остального) должна перейти в электромагнитные волны, так что температура всех предметов должна стремиться к абсолютному нулю.
Точные физические измерения говорят, что при каждой температуре тело излучает волны в сравнительно узком интервале спектра. Максимальная энергия излучения сосредоточена вблизи длины волны, которая определяется так называемым законом Вина
\(~\lambda_{max} = \frac bT.\)
Постоянная Вина b = 0,29·10-2 м·К была определена из опыта, но ее происхождение оставалось неясным. Мы увидим дальше, что она связана с постоянной Планка (так же, как и постоянная Стефана — Больцмана).
Закон Вина показывает, что с нагреванием тела максимум спектра смещается в сторону меньших длин волн, т.е. в сторону больших частот (этот закон часто так и называют законом смещения).
Итак, закон Стефана — Больцмана говорит о полной энергии излучения, а закон Вина — о положении максимума в спектре. Другими словами, известно, где спектральная кривая имеет максимум и какова площадь под кривой. Настала очередь обсудить более подробно форму этой кривой.
К началу XX века существовали две формулы, с помощью которых пытались описать форму кривой распределения энергии по спектру. Одну из них предложили два англичанина — это формула Рэлея — Джинса
\(~f(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} kT.\)
Сравнение с опытом показало, что формула Рэлея — Джинса правильно описывает спектр только для самых малых частот (слева от максимума кривой).
Если посмотреть на эту формулу с точки зрения числа степеней свободы, то можно дать ей красивое объяснение. Формула Рэлея — Джинса имеет такой вид, как будто участок спектра Δν содержит \(~\frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\) степеней свободы, на каждую из которых приходится тепловая энергия kT. Однако эта эффектная интерпретация порочна. Число степеней свободы быстро растет, если переходить ко все большим частотам в ультрафиолетовую часть спектра (направо от максимума кривой). Это значит, что чем больше частота, тем больше энергии содержит спектр, т.е. и по этой формуле все тела должны излучать электромагнитные волны с бесконечно большой энергией.
Этот странный вывод носил драматическое название ультрафиолетовой катастрофы, так как демонстрировал полный провал попыток объяснить свойства спектра, оставаясь в рамках понятий классической физики.
Другую формулу предложил уже известный нам Вин:
\(~f(\nu) = A \nu^3 e^{-\frac{a \nu}{T}}.\)
(Правда, он писал эту формулу несколько иначе, используя не частоту, а длину волны.) В формуле Вина A и a — некоторые постоянные, связанные, как мы это увидим в дальнейшем, с постоянной Планка. Формула Вина описывала ультрафиолетовую часть спектра, но была беспомощна, когда речь заходила о длинноволновой его части.
Итак, перед работами Планка физики знали уже довольно много: площадь под кривой распределения энергии по спектру, положение максимума и форму кривой в «начале» и в «конце». Оставалось сделать последний смелый шаг. Он-то и привел к рождению новой физики.
Квантовый характер теплового излучения. Формула Планка. Оптическая пирометрия.
После установления законов излучения стало очевидно, что первоочередная задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т.е. выяснение спектрального состава равновесного излучения абсолютно черного тела. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории излучения и сыграло огромную роль во всем дальнейшем развитии физики, т.к. привело к установлению квантового характера излучения и поглощения энергии атомами и молекулами.
Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения u(w,T)
Формула Планка («форма» зависимости <displaystyle u>h от частоты и температуры), первоначально, была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса (которая следует из классической теории электромагнитного поля) удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными; более того, в пределе она даёт расхождение: бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций (квантов) энергии, величина которых связана с частотой излучения выражением:
Коэффициент пропорциональности h, впоследствии назвали постоянной Планка, h = = 1,054 · 10 −27 эрг·с.
Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы; в частности, из неё следует закон Стефана — Больцмана (также эмпирически подтверждённый). Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка: формула Вина и формула Рэлея — Джинса.
Оптическая пирометрия — методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры. Приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении температуры тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.
<displaystyle u(omega ,T)>пр Радиационная температура — это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость равна энергетической светимости исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана – Больцмана вычисляется его радиационная температура:
Цветовая температура. Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости
Яркостная температуря Тя. — это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, т. е.
где Т — истинная температура тела. В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью. В данном случае изображение нити пирометра становится неразличимым на фоне поверхности раскаленного тела. Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру.
Абсолютно чёрных тел в природе не существует (кроме чёрных дыр), поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет собой замкнутую полость с небольшим отверстием. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде, чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками
(На самом деле, отверстие для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение)
Температура и теплоемкость
Сосуд с газом. Атомы сталкиваются со стенками, и в результате устанавливается тепловое равновесие между газом и сосудом — газ приобретает температуру стенок. Число атомов при столкновениях не меняется. Чтобы измерить температуру газа, можно выпустить небольшую порцию через маленькое отверстие.
Сосуд с излучением (черное тело). Волны или лучи света много раз отражаются от стенок, при этом они поглощаются стенками и излучаются вновь; в результате устанавливается тепловое равновесие между излучением и стенками. При таких процессах число квантов не остается постоянным: величина энергии и число квантов полностью определяются температурой сосуда. Свет, выходящий из маленького отверстия в таком сосуде, будет иметь спектр черного тела.
Рассмотрим газ, находящийся в нагретом сосуде. Мы знаем, что температура газа и стенок сосуда должна быть одинаковой. Если это вначале было не так, то тепло будет до тех пор перетекать от более теплого тела к более холодному, пока температуры не станут равными, т.е. пока не установится тепловое равновесие между стенками сосуда и находящимся в нем газом.
Температура газа связана с кинетической энергией его атомов (мы будем для простоты говорить об одноатомном газе). Один из самых первых выводов кинетической теории газа состоял в том, что каждый атом газа обладает (в среднем) энергией \(~\frac 32 kT\), по \(~\frac 12 kT\) на каждую степень свободы, а полная энергия газа равна \(~\frac 32 NkT\), где N — число частиц в газе (3N — полное число степеней свободы). Здесь k — постоянная Больцмана (k = 1,38·10-23 Дж/К); она играет роль переводного коэффициента от градусов на шкале Кельвина к джоулям. Дальше в кинетической теории газов показывалось, что если есть колебания, то на каждую колебательную степень свободы приходится энергия kT, вдвое большая, чем на степень свободы, отвечающую поступательному движению. Эти утверждения, доказанные и проверенные, относились к газу. Естественно, возник вопрос: а что можно сказать об энергии излучения?
Представим себе, что у нас есть сосуд (как говорили раньше, «полость»), в котором нет газа. Однако в таком сосуде всегда будет электромагнитное поле. Электромагнитные волны излучаются и поглощаются стенками, и эта энергия волн как-то распределяется по спектру. Если стенки сосуда имеют какую-то фиксированную температуру, то распределение энергии будет, очевидно, различным при разных температурах. Мы можем изучить поле внутри сосуда, сделав в нем маленькое отверстие и выпустив пучок света.
Когда впервые начали обсуждать свойства такой «полости», то заметили, что если свет снаружи попадает в отверстие, то он, очень много раз отразившись от стенок и «заблудившись», почти не будет иметь шансов выйти наружу. Отверстие поглощает весь падающий на него свет, поэтому тело и назвали черным (точнее — абсолютно черным), а свет, который выходит из отверстия, назвали излучением черного тела (так что черное тело светится!).
Представьте теперь, что черное тело нагревают. Тогда можно задать вопрос: какое количество тепловой энергии перейдет в свет? Ответ на него был дан в конце XIX века и состоял в том, что свет, заключенный внутри черного тела, должен находиться в тепловом равновесии со стенками сосуда. Это равновесие устанавливается и поддерживается процессами излучения и поглощения световых волн нагретыми стенками (сколько излучают, сколько же поглощают обратно), а энергия и ее спектральная плотность полностью определяются только одним параметром — температурой. Никакого разговора о числе степеней свободы (как это было в случае газа) здесь как будто и не возникает.
Если в сосуде, в котором установилось тепловое равновесие, есть маленькое отверстие, то световые волны будут выходить из него. Величина энергии, выходящей из отверстия черного тела, определяется законом Стефана — Больцмана. Согласно этому закону энергия, излученная черным телом с единицы поверхности отверстия в единицу времени, пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и не зависит от природы тела:
\(~\varepsilon = \sigma T^4\)
(постоянная Стефана — Больцмана σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4)).
Закон Стефана — Больцмана был хорошо проверен экспериментально. Опыты подтвердили, что к излучению можно применять те же понятия — энергия, температура, которые используются при описании тепловых свойств газа в кинетической теории.
2.2. Число осцилляторов в единице объёма
Попытаемся объяснить все приведённые выше экспериментальные
факты. Для этого введём представление об осцилляторах, или о стоячих волнах
внутри некоторой полости (например, как на рис.2.1). Количество энергии
излучения Uω dω
определяется числом осцилляторов dNω в
интервале частот (ω, ω + dω), в
объеме V, при средней энергии одного осциллятора
< E >:
Перейдём к вычислению dNω и < E >.
Число осцилляторов
Подсчёт числа осцилляторов мы выполним по методу,
предложенному Рэлеем и реализованному Джинсом. Число осцилляторов dNω равно количеству стоячих волн в рассматриваемом
объеме. Подсчёт числа колебаний можно выполнить и в терминах длин волн
для интервала от l до l + dl,
но удобнее проводить его в шкале волновых чисел
для интервала от k до k + dk. Рассмотрим волны в кубе L Î
L Î L. Введём волновой вектор k проекции которого на оси координат равны kx, ky, kz. Внутри
рассматриваемого объёма по каждому направлению должно укладываться целое число
волн:
где Nx, Ny и Nz — целые положительные числа.
Совокупность таких значений kx, ky, kz обеспечивает наличие узлов на
гранях куба. Модуль k волнового
вектора выражается через его проекции, как модуль любого вектора:
Для нахождения числа осцилляторов
удобно воспользоваться простым геометрическим приёмом. Выберем Nx, Ny и Nz из
формулы (2.4) за координатные оси в воображаемом пространстве чисел. На
рис. 2.1 изображена часть этого пространства. Каждой тройке чисел Nx, Ny и Nz на этом
рисунке отвечает точка. Введём величину
Если числа Nx, Ny и Nz достаточно велики, то их функция N будет меняться почти непрерывно и на рис.(2.1) изобразится
радиус-вектором. Согласно (2.4–6), модуль волнового вектора однозначно
выражается через N:
Отсюда следует, что число волн с
модулем волнового вектора, лежащим в интервале от k
до k + dk, равно числу
чисел N в интервале от N
до N + dN. Последнее
равно числу точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусом N и N + dN, а именно,
Таким образом, число волн, или число
осцилляторов с величиной волнового числа между k и
k + dk и с
определённым направлением поляризации в объёме V =
L3
равно
Последнее равенство справа
получилось после дифференцирования (2.7). Нам осталось умножить полученное
выражение на 2 — число независимых направлений поляризации излучения, и,
воспользовавшись формулой (2.3), перейти к шкале частот:
В силу большой важности (2.8),
приведём другой его вывод, основанный на формуле (2.3) первой главы
для числа квантовых состояний dN в элементе фазового объёма dG.
Проинтегрировав последнюю формулу по всем пространственным координатам,
получим, что число квантов в объёме V и в элементе dpx dpy dpz пространства
импульсов равно V dpx dpy dpz /h3. Теперь перейдём к сферическим координатам в
пространстве импульсов
dpxdpydpz = p2 dp sinq dj dq
и проинтегрируем по угловым
переменным:
Итак, в пространстве импульсов объём
шарового слоя радиусом p и толщиной dp равен 4πp2 dp. С помощью
формулы p=ħωcперейдём от интервала импульсов фотона к
диапазону частот излучения:
откуда следует выражение для числа
квантов в объёме V и в интервале частот dω с заданным направлением поляризации:
Если теперь учесть наличие у фотона
двух независимых поляризаций, то снова получится формула (2.8). Примечательно,
что она не содержит постоянной Планка. Это обстоятельство служит указанием на
то, что она может быть получена в рамках классического рассмотрения.
Теперь вычислим среднюю энергию осциллятора. Рассмотрим
последовательно случаи классического и квантового осцилляторов
Что такое ультрафиолет?
Ультрафиолетовый свет — это электромагнитное излучение, имеющее частотуn между 8 × 1014 и 3 × 1016 Диапазон Гц и длина волны между 0.4 x 10-6 -10-8 метр, поэтому ультрафиолетовый свет не попадает в видимый диапазон человеческого зрения. На этих длинах волн заметна ультрафиолетовая катастрофа. Ультрафиолетовые лучи широко используются для уничтожения макробактерий, стерилизации медицинского оборудования, хотя чрезмерное воздействие ультрафиолетовых лучей может быть вредным для человека и может вызвать различные кожные инфекции. Ультрафиолетовые (УФ) датчики или детекторы используются для обнаружения УФ-излучения, испускаемого во время воспламенения. УФ датчики пламени способны обнаруживать пожары и взрывы в течение 3–4 миллисекунд.
Излучение тел
Каждое реальное тело излучает энергию в виде электромагнитных волн в окружающее пространство. При этом в соответствии с законом Стефана-Больцмана это излучение будет тем интенсивнее, чем выше температура тела. Если тело имеет невысокую температуру, например температуру окружающей среды, то излучаемая им энергия невелика и большая ее часть испускается в виде длинных электромагнитных волн (инфракрасное излучение). Увеличение температуры тела приводит не только к увеличению количества излучаемой энергии, но и к смещению спектра излучения в область более высоких частот. Именно поэтому цвет тела изменяется при его нагреве. Количество энергии, которое испускает тело, нагретое до некоторой конкретной температуры в определенном узком интервале частот, описывается законом Планка.
Количество и спектр излучаемой электромагнитной энергии зависят не только от температуры тела, но и от природы излучающей поверхности. Так, матовая или черная поверхность обладает большей излучающей способностью, чем светлая или блестящая. Это означает, что количество энергии, которое излучает раскаленная углеродная нить, больше, чем, например, нить из платины, нагретая до той же температуры. Закон Кирхгофа устанавливает, что если тело хорошо излучает энергию, значит, оно будет и хорошо ее поглощать. Таким образом, тела черного цвета являются хорошими поглотителями электромагнитного излучения.
Частицы или волны?
С самого начала механика встречалась с задачами, которые можно было разбить на два совершенно разных класса. Движение материальных точек и твердых тел описывалось уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определять траектории движения тел, например планет солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траекторий. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки — все эти задачи относились к механике сплошных сред, и ими занимались гидродинамика, аэродинамика, теория упругости и другие разделы механики.
Сплошная среда и система материальных точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если даже, решая задачу о течении воды, и выделяли мысленно небольшой объем жидкости, то этот объем никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики).
Волны в воде или в воздухе (например, те, которые называют звуком) и планета, движущаяся вокруг Солнца, имели, казалось, мало общего. Все было ясно, вот только в оптике оставался нерешенным вопрос: что такое свет? Поток мельчайших частиц, как это думал Ньютон — сторонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде — мировом эфире, как думал Гюйгенс — создатель волной оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользу одной из них: свет в одних явлениях вел себя как поток корпускул, в других — как волны. Сейчас мы хорошо знаем, что в этом нет противоречия — поверить в это стало возможным лишь благодаря квантовой теории. В прошлом же веке противоречие казалось неразрешимым . Свет должен быть либо волной, либо частицей. Это утверждение выглядело логически безупречным.
Явление фотоэффекта
В рассуждениях Планка квант сам по себе не появлялся — речь шла о системах, состоящих из большого числа квантов, для изучения которых применялись методы статистики. Но еще в 1887 году Герцем было открыто явление (изученное подробно Столетовым), в котором квантовые свойства света проявлялись очень четко. Речь идет о фотоэффекте — вылете электронов из куска металла при освещении его светом. На этом эффекте построены многие приборы: телевизор, осциллограф, фотоэкспонометр и т.д.
Фотоэффект обнаруживает закономерность, которая выглядела парадоксальной для физика прошлого века, — энергия электронов, которые вырываются из металла, не зависит от интенсивности света. Если увеличивать интенсивность света, то возрастает число вырванных электронов, энергия же их остается неизменной. Для того чтобы увеличить энергию вылетающих электронов, необходимо увеличить частоту падающего света. Такое поведение совсем непохоже, например, на то, как вылетают электроны из катода радиолампы — чем выше температура катода, тем больше энергия вылетающих электронов. Этот эффект называют термоэмиссией. В нем не замечали ничего парадоксального. А фотоэффект был непонятен.
Сейчас мы знаем, что электрон не может постепенно поглощать и накапливать энергию, как это думали раньше, а может поглощать ее только квантами. Энергия же кванта определяется частотой. Отсюда следовало объяснение фотоэффекта, которое дал Эйнштейн в 1905 году. Все детали теории стали ясны много позднее, когда была создана квантовая теория металлов.
В начале XX века было хорошо известно, что для того чтобы вырвать электрон из металла, надо затратить определенную энергию; она называется работой выхода. Так, для вольфрама эта работа равна примерно 4,6 эВ (1 эВ = 1,6·10-19 Дж), для цезия — около 2 эВ, для платины — около 6 эВ. Остальные металлы имеют промежуточные значения работы выхода. Рассуждения Эйнштейна сводились к следующему. Если частота света такова, что энергия кванта hν меньше работы выхода А, то электрон вообще не может быть вырван из металла. Если же энергия кванта больше А, то избыток энергии уходит на кинетическую энергию электрона W. Сказанное можно записать в виде формулы, которая носит имя Эйнштейна:
\(~W = h \nu — A.\)
После фотоэффекта квантовый характер поглощения и излучения был открыт в очень многих явлениях. В наиболее общем виде он сформулирован в известном соотношении Нильса Бора\. Смысл его состоит в том, что если излучающая система переходит из состояния с энергией EII в состояние с энергией EI, то она излучает квант с энергией hν. Естественно, что если система, находясь в состоянии с энергией EI, поглотит квант hν, то она перейдет из состояния EI в состояние EII.
Две самые короткие формулы современной физики
Современная квантовая физика родилась 14 декабря 1900 года. В этот день на заседании Берлинского физического общества выступил с докладом Макс Планк. В его докладе впервые появилась новая мировая постоянная, обозначенная буквой h и названная элементарным квантом действия. Элементарным она была названа потому, что определяла самую малую энергию, которую может нести с собой электромагнитное излучение.
Слово «квант» происходит от латинского quantum, означающего «столько» (например, quantum placet означает «столько, сколько хочется»). Мировую постоянную называют теперь постоянной Планка, и ее наиболее точное значение равно
h = 6,626176·10-34 Дж·с.
Вместо h физики чаще пользуются другой величиной, которая в 2π раз меньше. Ее также называют постоянной Планка и обозначают
\(~\frac{h}{2 \pi} = \hbar\) = 1,0545887·10-34 Дж·с.
Формула Планка записывается так:
\(~E = h \nu.\)
Здесь Е — наименьшая порция света (или радиоволн, или рентгеновских лучей, или любого другого электромагнитного излучения), которую может испустить или поглотить атом, молекула или кристалл при заданной частоте излучения ν. Для видимого света частота определяет «цвет» света. Синему цвету соответствует большая частота, красному — меньшая. Частота колебаний излучения связана с длиной волны λ соотношением
\(~\nu = \frac{c}{\lambda},\)
где c — скорость света, которая в пустоте равна 3·108 м/с (точнее 299792458 м/с). Таким образом, постоянная Планка связывает наименьшую энергию излучения с его частотой, показывая, что отношение E к ν есть всегда величина постоянная.
Формула Планка вместе с формулой Эйнштейна
\(~E = mc^2,\)
связывающей массу и энергию, — две самые короткие и самые знаменитые формулы современной физики.
Попробуем понять, что привело Планка к необходимости квантовой гипотезы и почему формула Планка оказалась столь важной