Правила дифференцирования сложных функций
Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2×2)4?
|
Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней. |
Пример 1
Найдем производную функции y(x) = (3 + 2×2)4.
Заменим 3 + 2×2 на u и тогда получим y = u4.
Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:
y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u’x
А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:
4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2×2)3 ⋅ (3 + 2×2)′ = 16 (3 + 2×2)3 ⋅ х
Пример 2
Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.
Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.
y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x′ = 3×2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3×2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ sin x
Правило произведения
Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:
При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.
Рассмотрим на конкретных примерах.
Задача №1.
В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?
Ответ прост: 2 * 6 = 12.
Задача №2.
Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?
Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.
Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!
! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).
Задача №3.
Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?
Ответ: 2! = 2.
Задача №4.
Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?
10! = 3628800.
Линейная алгебра
1.1. Определители (детерминанты)
Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .
Определитель второго порядка: .
Определитель третьего порядка:
Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:
Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:
-алгебраическое дополнение элемента , ,
-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
1.2. Матрицы
| Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов): |
где ; . |
,Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и .
Квадратная матрица порядка n: .
Сложение матриц: , где .
Свойства сложения матриц:
1) ассоциативность: ;
2) коммутативность: ;
Умножение матрицы на число: .
Умножение матриц: .
Свойства умножения матриц:
-
- ассоциативность: ;
- некоммутативность.
- определитель произведения квадратных матриц: .
Транспонирование матрицы: .
Свойство транспонирования произведения матриц: .
Невырожденная (неособая) матрица: .
Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .
Свойства обратной матрицы:
1) ;
2) .
Виды матриц:
единичная матрица:
симметрическая матрица:
ортогональная матрица: A — невырождена и
кососимметрическая матрица: ;
матрица-строка:
матрица-столбец: .
Ранг матрицы — наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.
1.3. Системы линейных уравнений
|
— неизвестные;aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном; — свободные члены. |
Матричный вид: , — матрица системы,
|
— столбец неизвестных, |
— столбец свободных членов. |
Формулы Крамера (n=m): , — определитель матрицы системы; -определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.
Однородная система (B=0):
| Если , то система имеет только нулевое решение .Если , то существуют ненулевые решения. |
Основные понятия физики: ключевые законы и формулы
Действию всегда есть равное и противоположное противодействие.
Эта изящная фраза, которую часто используют в повседневных разговорах — часто как заявление о кармическом возмездии, — на самом деле является третьим законом движения Ньютона.
А вот как сформулированы два других закона Ньютона:
- В инерциальной системе отсчета тело свою скорость не меняет, если на него не действуют другие тела (или действие других тел скомпенсировано).
- Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе этого тела.
Сэр Исаак Ньютон, один из создателей классической физики, сформулировал эти законы более 330 лет назад после длительного наблюдения за движением материи и силами, которые на неё воздействуют.
Что такое классическая физика? Узнайте, что подразумевает данное понятие в нашем словаре физических терминов!
Хотя сейчас они кажутся самоочевидными и даже упрощёнными, в то время, когда эти законы были установлены, было мало фундаментальных правил, регулирующих хоть какие-то основы физики, не говоря уже об объединяющем стандарте массы в движении.
Альберт Эйнштейн, ещё один краеугольный камень дисциплины, которую мы называем физикой, создал, возможно, самое известное уравнение всех времён в своей специальной теории относительности: E=mc2.
Каким бы элегантным и простым на первый взгляд оно ни было, это уравнение таит в себе две физические истины:
- Принцип относительности гласит, что физические законы одинаково применимы во всех ситуациях.
- В вакууме скорость света постоянна, независимо от любого движения источника света.
Что совершенно удивительно, так это то, что эти законы выдержали испытание временем и подтверждались снова и снова!
Какие еще великие физики оказали такое влияние на эту науку?
А ниже вы можете ознакомиться с краткими определениями законов термодинамики:
- Нулевой закон определяет понятие температуры.
- Первый закон иллюстрирует динамику между внутренней энергией системы, добавленным теплом и ее работой.
- Второй закон описывает естественный поток тепла в замкнутой системе.
- Третий закон гласит, что любой созданный термодинамический процесс по самой своей природе будет страдать от потери тепла, поэтому никогда не будет достигнута идеальная эффективность.
Эти законы также возникли в середине 1600-х годов и остаются актуальными до сих пор — это и есть настоящее свидетельство человеческого любопытства и наличия блестящих умов в нашей истории, которые сформулировали данные законы.
Также существуют два закона, которые управляют созданием электрически заряженными частицами электростатической силы и полей:
- Закон Кулона, который гласит, что объекты с одинаковым зарядом отталкиваются друг от друга, а с противоположным — притягиваются, и описывает силы, выраженные в результате упомянутого притяжения или отталкивания.
- Закон Гаусса описывает распределение электрического заряда по создаваемому им электрическому полю.
Они названы в честь их авторов: Шарля Кулона, французского физика, и Карла Фридриха Гаусса, немецкого математика.
Сегодня мы освежили ваши знания о фундаментальных понятиях и основах, на которых можно строить своё дальнейшее углублённое изучение физики. Почему бы не продолжить погружение в науку и не узнать больше интересных фактов о физике вместе с опытным репетитором во время онлайн-уроков?
Тело
В обычной жизни слово «тело» относится к организму человека или животного. Физическое понятие «тело» обозначает любой предмет, как правило, обладающий некоторой массой и некоторым объемом. Камень, Земля, человек, вещь – все это тела с точки зрения физики. Если положение тела с течением времени не меняется, говорят, что тело находится в покое.
Рис. 1. Тело в физике.
Механическим движением называется изменение положения тела с течением времени относительно других тел.
Из данного правила, следует важное следствие – о механическом движении можно говорить, если рассматривается, по крайней мере, два тела – одно, которое движется, и одно, относительно которого это движение совершается. Движение может совершаться и относительно многих тел
Однако, как правило, движение рассматривается относительно одного тела, которое называется телом отсчета.
Энергия фотона
Распространение световых лучей необходимо рассматривать как постоянный поток локализованных в пространственной среде дискретных элементов, а не как непрерывный волновой процесс, движущийся со скоростью равную быстроте света в вакууме. В 1926 году эти вещества получили название фотонов, которые обладают всеми характеристиками частицы.
Определение 3
Энергия фотона — это активность элементарной частицы или квант электромагнитного светового излучения.
Это безмассовая частица, которая может полноценно существовать двигаясь со скоростью света. Ее формула записывается таким способом:
$\LARGE E=h\nu = h\frac{c}{\lambda }$
Таким образом положительная энергия фотона возрастает с ростом частоты и с уменьшением длины волновых процессов. Так же фотон имеет: плотность фотона:
$\LARGE m=\frac{h\nu}{c^2}=\frac{h}{c\lambda }$
и импульс фотона:
$\LARGE p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda }$
Фототок представляет собой процесс, возникающий в конкретной цепи, где пластинка прочно присоединена к отрицательному полюсу основного источника — фотокатода. Фототок появляется практически параллельно с освещением свойств фотокатода. Фототок насыщения абсолютно пропорционален насыщенности света, падающего на конкретную цинковую пластинку.
Работа, мощность, энергия
Механическая работа рассчитывается по следующей формуле:
Самая общая формула для мощности (если мощность переменная, то по следующей формуле рассчитывается средняя мощность):
Мгновенная механическая мощность:
Коэффициент полезного действия (КПД) может быть рассчитан и через мощности и через работы:
Формула для кинетической энергии:
Потенциальная энергия тела поднятого на высоту:
Потенциальная энергия растянутой (или сжатой) пружины:
Полная механическая энергия:
Связь полной механической энергии тела или системы тел и работы внешних сил:
Закон сохранения механической энергии (далее – ЗСЭ). Как следует из предыдущей формулы, если внешние силы не совершают работы над телом (или системой тел), то его (их) общая полная механическая энергия остается постоянной, при этом энергия может перетекать из одного вида в другой (из кинетической в потенциальную или наоборот):
Основные понятия физики, связанные с измерениями
Основная цель физики — понять, как функционирует Вселенная на субатомном уровне на нашей планете и в космосе.
Исследования на эту тему включают в себя фундаментальные концепции, такие как движение материи в пространстве и времени, их энергия и влияние сил на эту материю.
Фиксировать отклонения в наблюдаемом вопросе — это одно, но, чтобы объяснить, как и почему изменяются эти показатели, необходимо провести точные расчёты. Однако, нельзя использовать одну и ту же шкалу для измерения орбиты планеты (километры) и чтобы отметить разницу температур (Кельвин, Ранкин, Цельсий и Фаренгейт).
Какими бы ни были официальные стандарты измерения в той или иной стране, научное сообщество записывает любые свои выводы, используя международную систему единиц измерения, называемых единицами СИ.
SI расшифровывается как Système Internationale d’Unités, что и означает “Международная система единиц измерения”!
Эта система включает в себя основные параметры для каждого типа измерения:
- Длина измеряется в метрах;
- Время измеряется в секундах;
- Вес (масса) измеряется килограммах;
- Температура измеряется в градусах Кельвина;
- Электрический ток — в амперах;
- Моль — это единица измерения количества вещества.
Естественно, 1 килограмм не является самой низким показателем веса и электрический ток не всегда начинается измеряется с 1 ампера, поэтому в дело вступают десятичные дроби и показатели степени.
Это уже ключевые понятия из курса математики!
Когда нужно записать уравнения, то, вместо того, чтобы обозначать нанометр как 1 после 8 нулей, стоящих после десятичной точки (0,000000001), это измерение просто обозначается как «n».
Существует восемь стандартных префиксов с дополнительными сокращениями для обозначения экспоненциальных значений:
| Префикс | Аббревиатура | Экспонента | Количество нулей |
| Тера- | Т | 12 | 1,000,000,000,000 |
| Гига- | Г | 9 | 1,000,000,000 |
| Мега- | M | 6 | 1,000,000 |
| Кило- | к | 3 | 1,000 |
| санти- | с | -2 | 0.01 |
| милли- | мм | -3 | 0.001 |
| микро- | мк | -6 | 0.000001 |
| нано- | н | -9 | 0.000000001 |
Обратите внимание, что, хотя использование префиксов помогает упростить манипуляции с уравнениями, каждая единица, выраженная префиксом, должна быть преобразована обратно в фактическое числовое значение для решения уравнения. Можно легко измерить массу объекта или время, необходимое для прохождения определённого расстояния, но как насчёт измерения силы, которая его движет, энергии, которую он расходует, частоты его волн или его электрического заряда?
Можно легко измерить массу объекта или время, необходимое для прохождения определённого расстояния, но как насчёт измерения силы, которая его движет, энергии, которую он расходует, частоты его волн или его электрического заряда?
В этой следующей таблице вы можете увидеть все эти единицы: их название, то, что они представляют, и аббревиатуру, используемую, чтобы показать, как они обозначаются.
| Единица измерения | Аббревиатура | Что именно измеряется? |
| Джоуль | Дж | Энергия |
| Ватт | Вт | Мощность |
| Паскаль | Па | Давление |
| Ньютон | Н | Сила |
| Герц | Гц | Частота |
| Ом | Ом | Электрическое сопротивление |
| Вольт | В | Электрическое напряжение |
| Кулон | Кл | Электрический заряд |
| Тесла | Тл | Магнитная индукция |
Узнать больше об основных понятиях можно на частных уроках с репетитором физики. Такого преподавателя как раз можно найти на Superprof.
Динамика
Законы Ньютона
Первый закон Ньютона
Второй закон Ньютона
Третий закон Ньютона
Закон Гука
Закон всемирного тяготения
Гравитационная постоянная
Сила тяжести
Ускорение свободного падения
- вблизи поверхности Земли (g0);
- на высоте (h) от поверхности Земли (gh).
Вес покоящихся и движущихся тел
Силы трения
Трение покоя
Трение скольжения
Коэффициент тренияДвижение тела под действием силы трения
Движение тела под действием нескольких сил
Движение тела по наклонной плоскости
Движение связанных тел через неподвижный блок
Законы сохранения в механике
Импульс тела
Импульс силы
Закон сохранения импульса
Механическая работа силы
Теорема о кинетической энергии
Потенциальная энергия поднятого телаРабота силы тяжестиПотенциальная энергия деформированного тела
Закон сохранения полной механической энергии
Молекулярная физика
Химическое количество вещества находится по одной из формул:
Масса одной молекулы вещества может быть найдена по следующей формуле:
Связь массы, плотности и объёма:
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа:
Определение концентрации задаётся следующей формулой:
Для средней квадратичной скорости молекул имеется две формулы:
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы:
Постоянная Больцмана, постоянная Авогадро и универсальная газовая постоянная связаны следующим образом:
Следствия из основного уравнения МКТ:
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева):
Газовые законы. Закон Бойля-Мариотта:
Закон Гей-Люссака:
Закон Шарля:
Универсальный газовый закон (Клапейрона):
Давление смеси газов (закон Дальтона):
Тепловое расширение тел. Тепловое расширение газов описывается законом Гей-Люссака. Тепловое расширение жидкостей подчиняется следующему закону:
Для расширения твердых тел применяются три формулы, описывающие изменение линейных размеров, площади и объема тела:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Сила Лоренца
Мы выяснили, что поле действует на проводник с током. Но если это так, то изначально оно действует отдельно на каждый движущийся заряд. Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся в нем электрический заряд, называется силой Лоренца
Здесь важно отметить слово «движущийся», так на неподвижные заряды магнитное поле не действует
Итак, частица с зарядом q движется в магнитном поле с индукцией В со скоростью v, а альфа – это угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции. Тогда сила, которая действует на частицу:
Как определить направление силы Лоренца? По правилу левой руки. Если вектор индукции входит в ладонь, а пальцы указывают на направление скорости, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца. Отметим, что так направление определяется для положительно заряженных частиц. Для отрицательных зарядов полученное направление нужно поменять на противоположное.
Если частица массы m влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, то она будет двигаться по окружности, а сила Лоренца будет играть роль центростремительной силы. Радиус окружности и период обращения частицы в однородном магнитном поле можно найти по формулам:
Общие правила дифференцирования
Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u — v)′ = u′ — v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.
Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).
y′ = (5 ⋅ x3)′
Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:
y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2
Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:
Определения и формулы
Равномерное прямолинейное движение
Скорость
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, численно равную перемещению, которое совершает тело за единицу времени (t).
Проекция скорости на координатную ось
Перемещение
Перемещение при равномерном прямолинейном движении равно произведению скорости на время (t) этого перемещения.
Проекция перемещения на координатную ось
Равноускоренное прямолинейное движение
Средняя скорость при неравномерном прямолинейном движении
Средняя скорость при неравномерном прямолинейном движении равна отношению перемещения на время (t), в течение которого оно совершено.
Ускорение
Ускорение тела при его равноускоренном движении — величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени (t), в течение которого это изменение произошло.
Скорость
Скорость тела в любой момент времени (t) равноускоренного прямолинейного движения определяется начальной скоростью тела и его ускорением .
Перемещение
Перемещение (s) тела в любой момент времени (t) равноускоренного прямолинейного движения определяется начальной скоростью (v0) тела и его конечной скоростью (v=v0+a×t).
Координата тела
Ускорение свободного падения
Равномерное движение по окружности
Угловая скорость
Угловая скорость (ω) тела при равномерном движении по окружности характеризует быстроту изменения угла поворота и:
- равна отношению изменения угла поворота (Δφ) к промежутку времени (Δt), за которое это изменение произошло;
- определяется отношением линейной скорости (v) к радиусу окружности (r);
- пропорциональна частоте обращения (n);
- обратно пропорциональна периоду обращения (Т)
Частота обращения (n) —
Период обращения (Т) — время совершения телом одного полного оборота.
Линейная скорость
- пропорциональна длине окружности (2πr) и обратно пропорциональна периоду обращения (T)
- пропорциональна длине окружности (2πr) и частоте обращения (n).
Центростремительное ускорение
- пропорционально квадрату скорости (v) и обратно пропорционально радиусу окружности (r);
- связано с периодом обращения (T) и частотой обращения (n) формулами:
Характеристика волн в физике
Доводилось ли вам когда-нибудь слышать о звуковых волнах? А сейсмических волнах?
Эти и другие виды волн имеют прямое, измеримое воздействие. Можно услышать звуковые волны, почувствовать сейсмические волны, которые проходят сквозь землю, вызывая землетрясения, или даже увидеть световые волны. Более наглядным примером в данном случае являются волны, которые вы можете увидеть с пляжа: они бьются о дно океана, превращая материю (любые твёрдые вещества и предметы) в мелкий песок.
Гравитационные волны — это особенно интересная тема! Эта рябь в пространстве-времени вызвана взрывными энергетическими процессами, происходящими в космосе. Эйнштейн упомянул о них ещё 100 лет назад в своей теории относительности.
Можете ли вы представить себе трепет, который испытали космологи, когда существование гравитационных волн было действительно доказано после стольких десятилетий их “теоретической” жизни на бумаге?
Физика и вселенная
Планеты, звёзды и тёмная материя — это то, из чего состоит наша Вселенная. Однако, можно сказать, что на более фундаментальном уровне она состоит из материи и энергии.
Материя в космосе может быть крошечной, как частицы пыли, или такой большой, как галактика, а энергия способна принимать множество различных форм: например, гравитационная энергия и тёмная энергия. На самом деле считается, что именно тёмная энергия является движущей силой процесса расширения нашей Вселенной.
Берём материю, энергию и добавляем силу — и вот, получаем универсальный рецепт любого события, происходящего в небесах: от рождения звезды до коллапса красного гиганта.
Геометрия в пространстве (стереометрия)
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):