Уравнение бегущей волны Фазовая скорость Волновое уравнение

Общий вид

Составляющие уравнения

При работе с физическими процессами в трёхмерном пространстве волновое уравнение получается из уравнения плоской волны.

Если мы имеем уравнение плоской волны:

\(A(\overrightarrow r,\;t)\;=\;A_0\cos(wt\;-\;(\overrightarrow k,\overrightarrow r)\;+\;\varphi_0)\)

Где \(A(x,\;t)\;\) — возмущение в точке x в момент времени t, \(A_0\) — волновая амплитуда, \(\omega\) — круговая частота, \(\overrightarrow k\) — волновой вектор, \(\overrightarrow k\;=\;\overrightarrow k(x,y,z)\) — радиус-вектор в точке \(x, y, z, \varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Если мы продифференцируем его по переменным x, y, z и t, то получим систему уравнений в частных производных:

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial t}^2}=-\omega^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-\omega^2A(\overrightarrow r,t), (1)\)

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial x}^2}=-k_x^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-k_x^2A(\overrightarrow r,t), (2)\)

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial y}^2}=-k_y^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-k_y^2A(\overrightarrow r,t), (3)\)

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial z}^2}=-k_z^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-k_z^2A(\overrightarrow r,t). (4)\)

При сложении уравнений (2), (3), (4) получаем:

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial z}^2}=-k^2A(\overrightarrow r,t). (5)\)

Из уравнений (1) и (5) следует, что:

\(\frac{k^2}{\omega^2}=\frac1{v^2}. (6)\)

Следовательно:

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial z}^2}=\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}. (7)\)

Таким образом, мы получаем общее волновое уравнение из суммы уравнений плоской волны в частных производных.

Для уравнений в n-мерных пространствах для построения берется система дифференциальных уравнений в частных производных по времени t и по каждому из n измерений.

Для одномерного пространства данное уравнение называется уравнением колебания струны и имеет следующую характеристику:

\(\frac{\partial^2u}{{\partial x}^2}=\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{{\partial t}^2}. (8)\)

Из описанного выше мы можем сделать вывод, что в общем случае для решения волновых задач необходимо применение численных методов. Тем не менее, для некоторых случаев существуют аналитические решения уравнений.

Операторы уравнения

С применением оператора Лапласа уравнение (7) принимает привычный нам вид:

\(\triangle u\;=\;\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}.\)

Оператором Д’Аламбера \(\square\) называется следующая разность:

\(\square=\bigtriangleup-\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2}{\partial t^2}. (9)\)

Тогда волновое уравнение можно представить в виде:

\(\square u=0. (10)\)

Электромагнитные волны

1. Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве.

Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием решения системы уравнений Максвелла. Согласно этой теории следует, что переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна:

где — скорость света в вакууме, , — электрическая и магнитная постоянные, , — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

2. Электромагнитные волны — поперечные волны. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу. Вектор скорости волны и векторы Е и Н образуют правую тройку векторов (Рисунок 2.1.4).

Для сравнения ориентации тройки векторов , Е и Н на рисунке приведено расположение осей декартовой системы координат. Такое сопоставление уместно и в дальнейшем будет использовано для определения проекций векторов Е и Н на координатные оси.

Рисунок 2.1.4

Взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе (их колебания синфазные). Модули этих векторов связаны соотношением:

которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей.

3. По форме волновых поверхностей волны могут быть плоские, эллиптические, сферические и т.д..

Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты. Монохроматическая волна не ограничена в пространстве и во времени. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты . Например, для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ, как показано на рисунке 2.1.3.,ее уравнение имеет вид:

Такие волны называются плоско (или линейно) поляризованными волнами.

Плоскость, в которой происходит колебание вектора Е называют плоскостью поляризации линейно поляризованной волны, а плоскость колебаний вектора Н – плоскостью колебаний. Ранее эти названия были обратными (см. ).

4. Все сказанное о стоячих волнах в упругих средах относится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендикулярными векторами Е и Н.

Стоячая электромагнитная волна состоит из двух стоячих волн — магнитной и электрической, колебания которых сдвинуты по фазе на .

5. Энергия электромагнитных волн. Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде задается соотношением: с — скорость света в вакууме.

В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления ОY, напряженность электрического поля задается уравнением:

соответственно объемная плотность энергии этой волны

Значение объемной плотности энергии волны меняется за период от 0 до .Среднее за период значение энергии равно:

.

6. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова — Пойнтинга:

Для линейно поляризованной монохроматической волны вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения волны и численно равен:

Интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения вектора Пойнтинга за период его полного колебания:

Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина, численно равная энергии, переносимая волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.

Интенсивность бегущей монохроматической волны: — фазовая скорость волны, среднее значение объемной плотности энергии поля волны.

Интенсивность света (электромагнитных волн, рассматриваемых в оптике) прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний вектора напряженности Е поля световой волны.

Примеры задач и решение

Задача 1

Найти скорость распространения звуковой волны, если частота колебаний равна \(\nu\)=400Гц, а амплитуда \(A=10^{-4}м\) и длина волны \(\lambda\)=0,8м. Также определить максимальную скорость частиц в данной среде.

Решение

Ввиду недостаточно строгого определения условий, сделаем допущение, что волна является плоской.

Тогда, сориентировав ее распространение по оси X, получим следующее уравнение:

\(\xi(t,x)=A\cos\omega(t-\frac xv).\)

Зная, что длина волны равна \(\lambda=\frac v\nu,\) получаем, что скорость волны равна:

\(v=\lambda\nu=0,8\cdot400=320\;(м/с).\)

Исходя из того, что скорость есть первая производная расстояния по времени, имеем:

\(\frac{d\xi}{dt}=\frac d{dt}(A\cos\omega(t-\frac x\nu))=-A\omega\sin\omega(t-\frac x\nu),\) следовательно:

\(max\frac{d\xi}{dt}=2\pi\nu A=2\pi\cdot400\cdot10^{-4}=0,25(м/с).\)

Ответ:

1. \(v=320 м/с;\)
2. \(max\frac{d\xi}{dt}=0,25 м/с.\)

Задача 2

Скорость распространения волны по упругой струне составляет \(\nu\)=10 м/с. Амплитуда колебаний точек в струне составляет A=0,05 м, период колебаний составляет Т=1 с. Сформулировать уравнение волны.

Решение

Так как в общем случае при распространении по оси X уравнение поперечной механической волны имеет вид:

\(\xi(t,z)=A\cdot\cos\omega(t-\frac xv)\)

то, найдя циклическую частоту по формуле \(\omega=\frac{2\pi}T=2\pi\;(рад/с),\) получаем:

\(\xi(t,z)=0,05\cdot\cos2\pi(t-\frac x10) (м)\)

Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение

Лекция 6. Механические волновые процессы

План лекции

6.1. Возникновение волны. Продольные и поперечные волны.

6.2. Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение.

6.3. Фазовая и групповая скорости.

6.4. Волны в упругих средах.

6.5. Звук и его характеристики.

6.6. Элементы акустики и их значение в строительстве.

6.7. Использование энергии упругих волн в строительстве.

Возникновение волны. Продольные и поперечные волны

Если в среде колеблется частица, то она приводит в колебание соседние частицы. Процесс распространения колебаний называется волной. Направление распространения колебаний называется лучом. В зависимости от направления колебаний частиц относительно луча различают волны продольные и поперечные. Если колебания происходят вдоль луча, то волна продольная, а если колебания перпендикулярны лучу — волна поперечная. Продольные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях растяжения – сжатия (разрежения – уплотнения), то есть в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Поверхность, до которой дошли колебания частиц к моменту времени t, называется фронтом волны. Совокупность точек (частиц), колеблющихся в одинаковых фазах, образует волновую поверхность. Если фронт волны плоский, волна называется плоской. Если фронт волны представляет собой поверхность шара, волна называется сферической. Так волна, распространяющаяся от точечного источника в однородной среде, будет сферической.

При волновом процессе точка среды совершает колебания относительно положения равновесия и почти не имеет поступательного перемещения вдоль луча. От источника поступательно перемещаются фаза и энергия колебаний. Соответственно скорость перемещения фазы – фазовая скорость, перенос энергии – групповая скорость.

Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение

Уравнение бегущей волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от координаты и времени.

Рассмотрим вывод уравнения плоской синусоидальной волны. Пусть упругая волна распространяется вдоль оси x. Если ξ(x,t)= Asinωt будет уравнением колебания точки (частицы), то такие же колебания частицы, отстоящей от источника на расстоянии x, произойдут позже, то есть с опозданием на время x/υ. Точка (частица) на расстоянии x будет иметь такое смещение в момент времени t , как и начальная точка в момент (t -x/υ). Тогда уравнение колебаний частиц, колеблющихся в плоскости XOY, или уравнение плоской бегущей волны будет:

Если фазовая скорость имеет обратное направление (-υ), то есть волна распространяется в обратном направлении, то

Без учета поглощения энергии в общем случае уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX, будет:

где A — амплитуда волны,

φ- начальная фаза колебаний, определяемая выбором начала отсчета x и t ;

[ω(t ± x/υ) + φ] — фаза плоской волны.

Введем в уравнения (6.1) и (6.2) волновое число:

(6.3)

где λ — длина волны;

T — период колебаний;

ω — циклическая частота.

Обобщив (6.1), (6.2) и (6.3), перепишем уравнение плоской бегущей волны в виде:

Направление волны зависит от знака (+) или (-) перед kx.. .

Аналогично можно показать, что уравнение сферической синусоидальной волны (её волновые поверхности имеют вид концентрических сфер) записывается так:

ξ(r,t) = sin(ωt ± kr + φ), (6.5)

где — амплитуда волны,

a — физическая величина, численно равная амплитуде на единичном расстоянии от центра волны.

Из (6.5) видно, что амплитуда колебаний сферической синусоидальной волны не остается постоянной, а убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r .

Существуют и другие формы записи синусоидальной плоской и сферической волны 1 .

1 Основываясь на формуле Эйлера, уравнения этих волн в экспоненциальной форме можно записать так:

— плоская волна;

— сферическая волна.

Уравнение волны (6.4) – одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающее процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым. Его можно получить продифференцировав (6.4) по два раза, сначала по t, а затем по x:

Сравнивая эти уравнения получим волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX:

Волновое уравнение в общем случае:

— оператор Лапласа.

Дата добавления: 2015-10-26 ; просмотров: 4058 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Волновое уравнение механических волн

Определение

Механические волны — упругие возмущения, распространяемые в упругой среде.

Рассматривают поперечные и продольные механические волны.

В продольных волнах колебания, несущие эту волну, осуществляется по вектору, параллельном направлению движения. Они возможны в газообразной, жидкой и твёрдой среде. Особенностью поперечных волн является возможность их наличия исключительно при возможности деформации сдвига в твёрдых средах.

В условиях распространения в бесконечной натянутой струне поперечная монохроматическая волна может быть описана следующим выражением (уравнением бегущей струны):

\(\xi(t,z)=A\cdot\cos\omega(t-\frac zv) (23)\)

Где \(\xi(t,z)\) — смещение частицы из положения равновесия в струне, z — расстояние от начала струны до точки равновесного положения частицы в струне, v — скорость распространения колебаний.

Решение уравнения

В математической физике существуют несколько частных случаев волновых уравнений, для которых существуют аналитические решения:

• формула Д’Аламбера;
• формула Пуассона-Парсенваля;
• формула Кирхгофа.

Формула Д’Аламбера

Рассмотрим формулу Д’Аламбера, являющейся частным случаем волновых уравнений в одномерном пространстве:

\(u_{tt}=a^2u_{tt}+f.\)

Где f=f(x,t) — вынуждающая внешняя сила, \(u(x,0)\;=\;\varphi(x),\;u_t(x,0)=\psi(x)\) — начальные условия.

Тогда решение формулы Д’Аламбера имеет вид:

\(u(x,t)\;=\;\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}2+\frac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)\operatorname d\alpha+\frac1{2a}\int_0^t\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(s,\tau)\operatorname dsd\tau. (11)\)

Формула Пуассона-Парсенваля

Частным случаем волнового уравнения для поверхности или плоскости является формула Пуассона-Парсенваля.

Рассмотрим уравнение:

\(u_{tt}\;=\;a^2\triangle u+f\)

Где \(u(x,0)=\varphi(x),\;u_t(x,0)=\psi(x)\) — начальные условия.

Тогда решение формулы Пуассона-Парсенваля имеет следующий вид:

\(u(\overline x,t)=u(x_1,x_2,t)=\frac1{2\pi a}\int_0^t\iint\limits_{\tau<(at-\tau)}\frac{f(y_1,y_2,\;\tau)dy_1dy_2d\tau}{\sqrt{a^2{(t-\tau)}^2-{(y_1-x_1)}^2-{(y_2-x_2)}^2}}+\frac\partial{\partial t}\frac1{2\mathrm{πa}}\iint\limits_{\tau<at}\frac{\varphi(y_1,y_2,\;)dy_1dy_2}{\sqrt{a^2t^2-{(y_1-x_1)}^2-{(y_2-x_2)}^2}}+\frac1{2\mathrm{πa}}\iint\limits_{\tau<at}\frac{\psi(y_1,y_2,\;)dy_1dy_2}{\sqrt{a^2t^2-{(y_1-x_1)}^2-{(y_2-x_2)}^2}}. (12)\)

Формула Кирхгофа

В трёхмерном пространстве частным случаем волновых уравнений, для которых существует аналитическое решение, является формула Кирхгофа.

Мы имеем уравнение следующего вида:

\(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\bigtriangleup u\;=\;f (13)\)

Где \(u=u(x,t), f=f(x,t), u,\;f\;\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^+, \bigtriangleup\) — оператор Лапласа, при начальных условиях:

\({\left.u\right|}_{t=0}=\varphi_0(\overline x),\;\frac{\partial u}{\partial t}=\varphi_1(\overline x)\)

Мы получим следующее решение уравнения:

\(u(x,t)\;=\;\frac\partial{\partial t}\left+\frac1{4\mathrm{πa}^2\mathrm t}\iint\limits_S\varphi_1(y)d^2S_n+\frac1{4\mathrm{πa}^2}\underset{\left|x-y\right|<at}{\int\int\int}\frac{f(y,t-{\displaystyle\frac{\vert x-y\vert}a}}{\vert x-y\vert}d^3y (14)\)

Где \(S:\;\vert x-y\vert=at \) — сфера, по которой осуществляется интегрирование.