Урок 4представление числовой информации в компьютере

Классификация позиционных систем

Двоичные

Определение

Двоичная система —  система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа два.

Чтобы не путать их с числами, записанными в десятичной системе счисления, справа внизу указывают основание системы счисления. Обычно число при этом заключают в скобки.

Двоичную систему использовали задолго до возникновения информационных технологий. Во втором тысячелетии до нашей эры народы Южной Америки кодировали двоичной системой свои записи, в том числе и не числовые. Узелок и ровный участок нити чередовались друг с другом.

В современной двоичной системе, на основе которой был создан телеграф, а позже — реле и переключатели, единица обозначает наличие сигнала, ноль — его отсутствие. Цифровые электронные схемы работают по тому же принципу. Также на нем основаны сигнальные системы, использующиеся до сих пор, например, азбука Морзе.

Восьмеричные

Когда-то два индейских племени решили, что им удобно при счете смотреть на восемь промежутков между пальцами, а не на сами пальцы. Восьмеричная система счисления отразилась в их языках, в которых только восемь слов, обозначающих цифры.
В двадцатом веке, когда для написания программ требовалось зашифровывать все больше информации в двоичной системе и упростить вычисления для людей, придумали альтернативную систему, которая позволила сократить количество цифр в коде. Число восемь — это два в кубе, поэтому перевести записи из двоичной системы в восьмеричную и обратно проще, чем в десятичную.

Десятичные

Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3.
В системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 10 — основание системы счисления. Цифры от 0 до 9 представляют собой коэффициенты разложения числа по степеням десяти.

Родиной десятичной системы счисления считается Индия, хотя еще в вавилонской цивилизации с ее шестидесятеричной системой использовались закодированные десятичные цифры, а инки в своей узелковой письменности кодировали информацию десятью цветами. Но именно в Индии начали строго соблюдать порядок разрядов числа при записи и ставить ноль, чтобы избежать путаницы. Примерно в середине VIII века эту систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к XVI веку и была названа «арабской».

Шестнадцатеричные

Шестнадцатеричные системы, как и восьмеричные, появились для упрощения взаимодействия с компьютером. Кроме арабских цифр, в них используются еще и латинские буквы от А до F. В разных языках программирования для записи чисел в шестнадцатеричной системе разные правила, называемые синтаксисом.

Пятеричная

Система, связанная с количеством пальцев на одной руке, использовалась в Китае и у некоторых племен Африки. В китайском языке у иероглифов, обозначающих цифры от шести до девяти, был один и тот же знак в начале — сокращенное обозначение цифры пять. Для записи чисел в этой системе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4.

Двенадцатеричная

Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, получится двенадцать. Группы по двенадцать предметов называли во многих европейских языках словами, схожими с русским словом «дюжина»: duodezim на латыни, douzaine на французском, dozzina на итальянском, dozen на английском. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями, \frac1{12} они называли унцией.

В Европе счет дюжинами долгое время, вплоть до XVIII века, сохранялся наравне с десятеричной системой. Дюжина дюжин составляла гросс (от немецкого слова «большой»), дюжина гроссов — массу. Признаки влияния числа 12 заметны в англо-американской системе линейных мер, в которой 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм — 12 линиям, 1 линия — 6 точкам.

Шестидесятеричная

Первой позиционной системой счисления считается шестидесятеричная система в Древнем Вавилоне. Ее основание до сих пор применяют для измерения времени. Система счисления времени — смешанная, но для перевода минут в секунды или часы потребуется именно шестидесятеричная система.

Для измерения углов и записи координат (широты, долготы) тоже используют эту систему, так как изначально астрономические координаты записывали в шестидесятеричных дробях. По аналогии с часом градус делят на шестьдесят минут, минуту — на шестьдесят секунд.

Двадцатеричная

Двадцатеричную систему называют вигезимальной. Эта система, как и десятеричная, связана с количеством пальцев, поэтому многие народы изобрели ее независимо друг от друга. Основание 20 сохранилось в лингвистической структуре их языков, именно на нем основана система счета в разговорной речи. Например, во французском языке «восемьдесят» состоит из слов «четыре» и «двадцать».

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

Особенности арифметики СС с разными основами:

• при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
• если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
• умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
• заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

Сложение в 8-ой СС                                              в 16СС

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Рассмотрим сумму 43₈ и 56₁₆. Результат можно выразить в любой СС, но проще привести к 8- или 16-ричной:

 Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

Умножение в 8-ой СС

Двоичная система счисления

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике (полупроводниковые транзисторы и микросхемы), так как для неё требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1).

Двоичная система счисления может быть непозиционной и позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В реальном устройстве это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или не намагничено, есть отверстие или нет и т.п.

Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную.

101010102=1⋅27+⋅26+1⋅25+⋅24+1⋅23+⋅22+1⋅21+⋅2=128+32+8+2=170{\displaystyle 10101010_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=128+32+8+2=170};

Вы это можете проверить на программе-калькуляторе (gcalctool в gnome, Kcalc в KDE, или калькулятор в Windows). Он умеет производить расчёты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы захотите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придётся работать со степенями двойки. Ниже представлена таблица:

Степень	Значение
1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

Произведём обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить всё время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмём число 33.

• 33 : 2 = 16 остаток 1;
• 16 : 2 = 8 остаток 0;
• 8 : 2 = 4 остаток 0;
• 4 : 2 = 2 остаток 0;
• 2 : 2 = 1 остаток 0;
• 1 : 2 = 0 остаток 1;

Получили 1000012{\displaystyle 100001_{2}}.

Возьмём число 55. Посмотрим, что получится.

• 55 : 2 = 27 остаток 1;
• 27 : 2 = 13 остаток 1;
• 13 : 2 = 6 остаток 1;
• 6 : 2 = 3 остаток 0;
• 3 : 2 = 1 остаток 1;
• 1 : 2 = 0 остаток 1.

Получили 1101112{\displaystyle 110111_{2}}.

Ниже приведены ещё примеры со сложением, вычитанием, умножением и делением.

Сложение:

 1001
 1010
 ----
10011

Вычитание:

1110
0101
----
1001

Умножение:

   1110
   0101
   ----
   1110
  0000
 1110
0000 
-------
1000110

Деление:

1000110|101
 101   -----
----   0001110 
  111
  101
  ---
   101
   101
   ---
     00

Программа двоичного представления десятичного числа
(Написана на Си)

#include<stdio.h>
#include<conio.h>

voiddv(unsigned);

intmain(intargc,char**argv)
{
unsignedx;
printf("Vvedite chislo > ");
scanf("%d",&x);
dv(x);

getch();
return;
}

voiddv(unsignedx)
{
unsignedmask=1,i;
mask<<=sizeof(unsigned)*8-1;
for(i=1;i<=sizeof(unsigned)*8;i++)
{
printf("%c",x&mask?'1''0');
x<<=1;
if(!(i%8))
printf(" ");
}
printf("\n");
}

Классификация систем счисления

Все современные системы можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах (например, римской) значение знаков зависит от порядка их записи. Так, если I стоит перед V (IV), то это означает 5–1 = 4, а если после (VI), то это означает 5+1 = 6.

В позиционной системе, основным примером которой является повсеместно используемая десятичная, значение цифры четко зависит от ее положения (разряда).
Например, число 333 записывается тремя одинаковыми цифрами, но значение их различается по четким правилам: три сотни, три десятка и три единицы (333=300+30+3).
Важно подчеркнуть, что возможна другая форма записи такого разложения:

333 = 300 + 30 + 3 = 3•102 + 3•101 + 3•10.

Принято считать, что основание 10 возникло в соответствии с количеством пальцев у человека.

Начало развития

Согласно истории человек быстро эволюционировал – изобретались новые орудия для охоты, и появлялись инструменты, которые помогали вести сельское хозяйство. В результате развития людское племя начало быстро отвоевывать земли у дикой природы. Количество добычи, как и население племен неуклонно росло. Человеку больше не хватало обозначений один, пара, несколько или много. Это привело к возникновению и созданию первой, самой древней в истории, простейшей формы счисления, называемой унарной (единичной).

В этой форме счисления алфавит состоял из одного символа. Древние люди использовали зарубки на дереве, либо наносили палочки на стены пещер и кости убитых животных. Сколько объектов могли подсчитывать древнейшие племена – неизвестно. Однако, в 1937 году в Вестонице учеными археологами была найдена волчья кость, на которую было поставлено пятьдесят пять насечек. На данный момент это наибольшее значение, которое удалось подтвердить.

Унарная форма используется и в современной истории – я думаю, что каждый из вас видел фильмы, где заключенные ставят палочки на стенах, обозначая количество дней, проведенных в неволе. Также применяется для обучения маленьких детей счету – вспомните про счетные палочки.

Перевод чисел

Данное действие можно считать самым простым из всех, относящихся к системам счисления.
Каждая цифра числа образует слагаемое, которое надо записать, а потом произвести необходимые арифметические действия.

Прежде чем перейти к конкретным рассуждениям, надо отметить, что приводимые в заданиях числа, обычно не превышают 1024₁₀ или ненамного больше этого значения.
Это связано с разумным ограничением сложности вычислений.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
n2*	1	10	100	1000	10000	100000	…

Любое из производимых действий будет замкнуто на эту таблицу!

В десятичную систему

Вне зависимости от обсуждаемой системы счисления, любое число можно разбить на разряды, каждый из которых вносит определенный вклад в значение числа.
Общей закономерностью является то, что чем правее стоит цифра, тем меньшее значение она подразумевает.

В качестве первого примера рассмотрим число 1111_n

В качестве второго примера рассмотрим число 1234_n

Общая формула для перевода:

a₁*n
+ a₂*n1
+ a₃*n2
+ a₄*n3
+ … + a_k*nk–1

где n — основание системы счисления, k — номер разряда числа.

Из десятичной системы

1. Остаток от деления

Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
Остатки записываем.
После завершения вычислений записываем значения остатков
в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.

Разложим два числа: 23 и 64.

Делимое	Остаток	Смысл действия
23105210	11101	23/2 = 22/2 + 1 = 11 + 111/2 = 5 + 15/2 = 4/2 + 1 = 2 + 12/2 = 1 + 1/2 = 0 + 1

₁₀₂

Делимое	Остаток	Смысл действия
64321684210	0000001	64/2 = 32 + 32/2 = 16 + 16/2 = 8 + 8/2 = 4 + 4/2 = 2 + 2/2 = 1 + 1/2 = 0 + 1

₁₀₂

В некоторых учебниках (например, Босовой) предлагается таблицу записи располагать горизонтально, что очень удобно для сравнительно небольших чисел (11).

В верхней строке записывается число. Остаток от деления (в нашем случае на 2) записывается под ним, а целая часть частного — в следующей колонке.

Делимое	23	11	5	2	1
Остаток	1	1	1	1

₁₀₂

Способом деления можно перевести число в любую систему счисления. Давайте переведем 44 в троичную систему.

Делимое	44	14	4	1
Остаток	2	2	1	1

₁₀₃

Трудно сказать, насколько комфортно ощущают себя люди, производящие привычное деление столь необычным образом.
Лично я испытываю значительный дискомфорт, особенно при переводе не в двоичную систему.

Поэтому, давайте перейдем к другому, менее «магическому» способу.

2. Разложение

Как известно, любое число можно представить в виде суммы чисел.

Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно

Порядок действий на практике

Пример 1. Переведем 900 в семеричную систему.

Пример 2. Переведем 900 в пятеричную систему.

Пример 3. Переведем 900 в двоичную систему.

В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать слишком простым
для двоичной системы. Но он вполне понятен и, из-за необходимости четкой записи, всегда может быть легко проверен.

В некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие способы.

Из двоичной в восьми- и шестнадцатеричную системы

Это действие является основным для многих заданий. К сожалению, большинство учебников предлагает зазубрить примерно следующий принцип.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную следует разбить двоичное число по три разряда справа налево.

Необходимо заметить, что 8 = 23, а 16 = 24. Именно поэтому в приведенном правиле и используются группы по три разряда, а для перевода в 16-ричную потребуются уже 4 разряда.

Внимательный читатель может заметить, что еще осталось 4 = 22. То есть двоичную систему также легко можно преобразовать и в четверичную.

Отсюда же следует, что раз 9 = 32, то троичная система легко преобразуется в девятеричную, если разбить её число на пары.

Как это делается на практике.

Факультативный материал по переводу в четверичную систему.

₂₄

Из восьми и шестнадцатеричной систем в двоичную

Все также, как и в предыдущем разделе, только каждая цифра восьмеричного числа
превращается в три двоичных цифры, а шестнадцатеричного — в четыре.

Типичной ошибкой является незаписывание ведущих нулей (10 вместо 010).

Буквально пара слов о системах счисления и математике: сколько в числе нолей в конце, столько раз оно делится без остатка на основание системы.

Перевод в десятичную систему счисления

Для n-разрядного целого числа в десятичной системе справедливо выражение:

Х₁₀ = A_n-1 ⋅10n-1 + A_n-2 ⋅10n-2 + … + A₁ ⋅101 + A ⋅10,

где Х₁₀ — число, записанное в десятичной системе, в нижнем индексе указано основание системы,А_n-1 .. А — цифры в соответствующих разрядах числа.

Это выражение — разложение десятичного числа по степеням десяти — основания системы. Например, для числа 7583:

7583₁₀ = 7⋅103 + 5⋅102 + 8⋅101 + 3⋅10

Аналогичное выражение справедливо для любой позиционной системы счисления:

X_q = A_n-1⋅qn-1 + A_n-2⋅qn-2 + … + A₁⋅q1 + A⋅q,

где q — основание системы счисления, X_q— число, записанное в системе счисления с основанием q, А_n-1 .. А — цифры в соответствующих разрядах числа.

Например,

2C4₁₆ = 2⋅162 + 12⋅161 + 4⋅16 = 2⋅256 + 12⋅16 + 4⋅1 = 512 + 192 + 4 = 708₁₀

Для числа с дробной частью:

X_q = A_n-1⋅qn-1 + A_n-2⋅qn-2 + … + A1⋅q1 + A⋅q+ A-₁⋅q-1 + A_-2⋅q-2…

Например,

10011,101₂ = 1⋅24 + 0⋅23 + 0⋅22 + 1⋅21 + 1⋅2 + 1⋅2-1 + 0⋅2-2 + 1⋅2-3 = = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 19,625₁₀

Классификация систем счисления

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления (СС) — это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры (её вес) зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют).Например:число 237 состоит из 3 цифр. Понятно, что отдельно взятая цифра 7 больше чем цифра 2. Однако, в составе числа, двойка стоит на позиции сотен, а семёрка — на позиции единиц, поэтому количественное представление двойки — две сотни, или двести, а семёрка — всё та же семь.Многие, кроме десятичной СС, о других позиционных системах не имеют представления, хотя и часто ими пользуются. Например: 

1. шестидесятиричная (Древний Вавилон) — первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);
2. двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 — «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава — всего 12;

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.Достоинства позиционных систем счисления:

• в позиционных системах счисления устранены все недостатки непозиционных:
• в них можно записать любое число (как натуральное, таки действительное);
• запись чисел компактна и удобна;
• благодаря поразрядной организации записи чисел с ними легко проводить математические операции.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

I	V	X	L	С	D	М
1	5	10	50	100	500	1000

С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5).Правила записи чисел в римской системе счисления:

• если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI – 6 (5+1);
• если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL — 40 (50-10), XXL – нельзя;
• цифры М, С, Х, I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;
• цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10. Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения. По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:

• в них нельзя записать любое число;
• запись чисел обычно громоздка и неудобна;
• математические операции над ними крайне затруднены.

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

Все существующие системы делят на 2 группы:

1. Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

2. Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

12 – XII

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа.  Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112

Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

В мире информатики

Стоит отметить, что системы счисления играют большую роль в развитии и происхождении компьютерной сферы, и цифровой техники. С помощью них ЭВМ представляют информацию в виде удобном для хранения, передачи и обработки. Сейчас наибольшую популярность имеет цифровой код, введенный в историю немецким математиком Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Его алфавит состоит всего из двух символов (0 и 1) . Он успешно используется в ЭВМ с 1940 года. Широкое использование обусловлено:

1. Легкой технической реализацией.
2. Аппаратура может находиться всего лишь в двух состояниях, а это обеспечивает высокую помехоустойчивость и скорость работы.

Сложение чисел

Первым и наиглавнейшим правилом нужно считать то, что арифметические действия с числами возможны только если они записаны в одной и той же системе счисления.
Основных исключений два: числа 0 и 1 равны сами себе в любой системе счисления.

Складывать цифры разрядов надо по «давно забытому» правилу: если их сумма меньше предельной цифры (9 для десятичной системы), то их надо просто сложить.
Если же сумма превышает эту максимальную цифру, то одно из слагаемых должно быть разложено на две части, одна из которых дополнит второе слагаемое до переполнения разряда (10 для десятичной).
Пример: 7 + 6 = (7 + 3) + 3 = 10 + 3 = 13.

Перевод числа из десятичной системы в другие

Для перевода из десятичной системы в другую применяется метод последовательного деления числа на основание системы, в которую переводят, до тех пор, пока частное не окажется меньше основания другой системы. Результат записывается слева направо следующим образом: первым записывается последнее полученное частное, затем записывается каждый остаток последовательного деления в обратном порядке.

Например, переведем число 169₁₀ в двоичную систему:

169
	84
1			42
				21
						10
						1			5
										2
										1			1

Результат записываем, как показано стрелками: 10101001₂. Заметим, что в результате первого деления, полученный остаток является самым младшим разрядом числа в другой системе счисления.

Чтобы перевести дробную часть числа, представленному в десятичной системе, надо применить другой метод — последовательное умножение дробной части на основание системы, в которую переводим. Допустим, нужно перевести 0,375₁₀ в двоичную систему счисления.

⋅ 2
750	⋅ 2
1	500	⋅ 2
1	000

Вычисления метода удобно записывать в виде столбика, Проводится вертикальная черта, отделяющая дробную часть, Если в результате умножения дробной части получаем число, в котором количество разрядов совпадает с количеством разрядов дробной части, то в следующей строке слева от вертикальной черты пишем 0, если же больше, то старшие разряды полученного произведения, превышающие дробную часть по количеству разрядов. Справа от черты пишем младшие разряды полученного произведения в количестве равным количеству разрядов дробной части.

В нашем случае, 375 ⋅ 2 = 750, значит, во второй строке пишем слева от черты 0, а справа — 750. Снова умножаем на 2 полученную дробную часть — 750 ⋅ 2 = 1500. Число разрядов 4, поэтому в следующей строке 1 пишем слева от черты, а 500 — справа. Теперь умножаем 500 на 2, заметьте, что умножаем только часть полученного числа, стоящую справа от черты. 500 ⋅ 2 = 1000. В следующей строке пишем 1 слева от черты, 000 — справа. Дальнейшее умножение не имеет смысла, так как будем получать всегда 0. Результатом перевода будет левый столбик — 0,011₂.

Не всегда последовательное умножение приводит к получению конечной дроби, тогда умножение проводят столько раз, сколько требуется по условиям задачи, т.е. сколько знаков требуется после запятой.

Переведем 3427,58 из десятичной системы в шестнадцатеричную с точностью дробной части 4 знака после запятой.

Переводим целую часть методом деления:

3427
	214
22			13
	54
67
	6
3

Так как 13 в шестнадцатеричной системе — D, то результат — D63₁₆.

Переведем дробную часть:

∗ 16
9	28	⋅ 16
4	48	⋅ 16
7	68	⋅ 16
10	88

Полученное число D63,947A₁₆.

Алфавит и основание системы счисления

Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например:Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Двоичная система: {0, 1}Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.Десятичная система: 10, 101, 102, 103, 104,…, 10n,…Двоичная система: 2, 21, 22, 23, 24,…, 2n,…Восьмеричная система: 8, 81, 82, 83, 84,…, 8n,…Пример. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF.

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.

Алфавитные системы счисления

Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от $1$ до $9$, а также количество десятков (от $10$ до $90$), сотен (от $100$ до $900$) были обозначены буквами алфавита.

В древнегреческой алфавитной системе счисления числа $1, 2, . 9$ обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел $10, 20, . 90$ применялись следующие $9$ букв а для обозначения чисел $100, 200, . 900$ – последние $9$ букв.

У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу.

Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца $XVII$ века в качестве цифр использовались $27$ букв кириллицы.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Римская система счисления

Данная система принципиально не намного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки:

$I$ (один палец) для числа $1$;

$V$ (раскрытая ладонь) для числа $5$;

$X$ (две сложенные ладони) для $10$;

для обозначения чисел $100$, $500$ и $1000$ использовались первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча).

При составлении чисел римляне использовали следующие правила:

Необходимо записать число $1986$ в римской системе счисления.

Решение: $1986 = 1000 + 900 + 50 + 30 + 6 = M + (M – C) + L + (X + X + X) + V + I = MCMLXXXVI$,

$900 = M – C$ (группа второго вида);

$30 = X + X + X$ (группа первого вида).

Римскими цифрами пользуются издревле: ими обозначаются даты, номера томов, разделов, глав. Раньше считал, что обычные арабские цифры можно легко подделать.

Степени некоторых чисел

Степени числа 2

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536	131072	262144	524288	1 048 576

2n	Результат	Двоичноепредставление	Нолей(n)	Знаков(n+1)	Значения(штуки)
2	1	1	1	0–1 (2=21)
21	2	10	1	2	0–3 (4=22)
22	4	100	2	3	0–7 (8=23)
23	8	1000	3	4	0–15 (16=24)
24	16	10000	4	5	0–31 (32=25)
25	32	100000	5	6	0–63 (64=26)
26	64	1000000	6	7	0–127 (128=27)
27	128	10000000	7	8	0–255 (256=28)
28	256	100000000	8	9	0–511 (512=29)

1. Выводы (

n+1 — число знаков):

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистри­рован­ным пользователям!

Степени некоторых чисел

Осно-вание	Степень
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1 024
3	1	3	9	27	81	243	729	2 187	6 561	19 683	59 049
4 (22)	1	4	16	64	256	1 024	4 096	16 384	65 536	262 144
5	1	5	25	125	625	3 125	15 625	78 125	390 625
6	1	6	36	216	1 296	7 776	46 656	279 936
7	1	7	49	343	2 401	16 807	117 649	823 543
8 (23)	1	8	64	512	4 096	32 768	262 144
9 (32)	1	9	81	729	6 561	59 049	531 441
10	1	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
11	1	11	121	1 331	14 641	161 051
12	1	12	144	1 728	20 736	248 832
13	1	13	169	2 197	28 561	371 293
14	1	14	196	2 744	38 416	537 824
15	1	15	225	3 375	50 625	759 375
16 (24)	1	16	256	4 096	65 536

Примечание