Признаки равенства треугольников

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С₁С расположен внутри угла А₁С₁В₁.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники В₁С₁С и АС₁С.
По условию стороны АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁, следовательно, треугольники В₁С₁С и А₁С₁С – равнобедренные.
Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС₁ = ∠А₁С₁С,
∠ВСС₁ = ∠В₁С₁С.
Поскольку
∠ACB = ∠ACC₁ + ∠BCC₁,
∠AC1B = ∠AC₁C + ∠BC₁C,
то и углы AСB и AС₁B равны.
Так как ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁ и ∠AСB = ∠AС₁B, можно утверждать, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С₁С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник САС₁.
Согласно условию теоремы, в треугольнике САС₁ стороны АС и А₁С₁ равны, следовательно, сам треугольник САС₁ — равнобедренный.
По аналогии с (пункты 3-5): так как треугольник САС₁ равнобедренный, то углы при его основании (СС₁) равны, то есть ∠С = ∠С₁ . Отсюда следует, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Рассмотрим полученный треугольник ВСС₁.
По условию, стороны В₁С₁ и ВС – равны, следовательно, треугольник В₁С₁С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС₁D равны.
Рассмотрим треугольник АСС₁.
Согласно условию, стороны АС и А₁С₁ – равны, отсюда следует, что треугольник АСС₁ – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC₁A = ∠DCA).
∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC₁A = ∠DC₁B + ∠AC₁B.
Поскольку ∠DC₁A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС₁D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС₁В равны.
Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Скорее всего, Вам будет интересно:

Первый признак равенства треугольников: формулировка и доказательство (7 класс)
Свойства вписанной в треугольник окружности
Средняя линия трапеции: чему равна, свойства, доказательство теоремы
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами
Таблица прямых и обратных тригонометрических функций, онлайн калькулятор
Свойства прямоугольной трапеции
Как найти область определения функции онлайн
Сообщение о Федоре Ивановиче Тютчеве с кратким содержанием
Состав служебного программного обеспечения
Пьеса Островского «Гроза» читать онлайн или скачать pdf

Пример задач

Пример 1

Докажите равенство треугольников на рисунке ниже

Доказательство.

Углы $MKN$ и $PKE$ будут вертикальными. Следовательно, $∠MKN=∠PKE$. Значит, с учетом условия задачи, треугольники будут равны по теореме 2.

Пример 2

Докажите равенство треугольников на рисунке ниже

Доказательство.

Углы $AOB$ и $DOC$ будут вертикальными. Следовательно, $∠AOB=∠DOC$. Значит, с учетом условия задачи, треугольники будут равны по теореме 1.

Пример 3

Докажите равенство треугольников на рисунке ниже

Доказательство.

Так как сторона $FS$ является общей для этих треугольников, то, с учетом условия задачи, треугольники будут равны по теореме 1.

Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Это означает, что:

$ a+b>c$
$ a+c>b$
$ b+c>a$

Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?

Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей.

И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного $ 100$ м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея $ 200$ метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж $ 500$ м по прямой».

Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Так не может быть!

Почему?

Да потому что если от Коли до Пети $ 100$ м, а от Пети до Сергея $ 200$ м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше $ 300$ ($ =100+200$) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.

Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой ($ КС$) должен быть короче, чем путь с заходом в точку $ П$. ($ К-П-С$).

Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами $ 1,3,7$?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: $ 1+3<7$, значит, треугольника со сторонами $ 1,3$ и $ 7$ не бывает! А вот со сторонами $ 2,4,5$ – бывает, потому что

Треугольник. Равенство треугольников

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана делит стороны пополам. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и в этой точке делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Высотой треугольника называется отрезок, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике высота опускается на продолжение стороны. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. В случае тупого угла в одной точке пересекаются продолжения высот.

Равные треугольники

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников — одна из основных теорем геометрии. Треугольник на евклидовой плоскости однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:

Первый признак — по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.
Третий признак – по трём сторонам.

Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.

Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту: ЗАДАЧИ на Признаки равенства треугольников
Вернуться к Списку конспектов по геометрии

Сумма углов треугольника. Внутренние и внешние углы

Внутренние углы треугольника

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника.

А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.

У треугольника ещё бывают внешние углы.

И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна $ \displaystyle 180{}^\circ $, касается как раз внешнего треугольника.

Внешние углы треугольника

Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем $ \displaystyle AC$) продолжаем.

Видишь, получился новый угол, $ \displaystyle \angle BCE$?

Этот угол образован одной стороной ($ \displaystyle BC$) треугольника и продолжением другой стороны ($ \displaystyle AC$).

Вот он и называется внешним углом треугольника $ \displaystyle ABC$ при вершине $ \displaystyle C$.

Конечно, мы бы могли оставить сторону $ \displaystyle AC$, а продолжить сторону $ \displaystyle BC$. Вот так:

Тогда $ \displaystyle \angle ACK$ тоже будет внешним углом при вершине $ \displaystyle C$, да и к тому же он будет равен углу $ \displaystyle BCE$.

Смотри:

Углы $ \displaystyle BCE$ и $ \displaystyle ACK$ – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине $ \displaystyle C$.

А вот про угол $ \displaystyle ECK$ такого сказать ни в коем случае нельзя!

Он образован пересечением двух продолжений сторон!

Угол $ \displaystyle ECK$ вообще равен внутреннему $ \displaystyle \angle C$ треугольника $ \displaystyle ABC$.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Смотри, на нашем рисунке это означает, что $ \angle 4=\angle 1+\angle 2$.

Как же это связано с суммой углов треугольника?

Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна $ \displaystyle 180{}^\circ \Rightarrow $

$ \angle 1+\angle 2+\angle 3=180{}^\circ $,

но $ \angle 4+\angle 3=180{}^\circ $ – потому, что $ \angle 3$ и $ \angle 4$ – смежные.

Ну вот и получается: $ \angle 4=\angle 1+\angle 2$.

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Доказательство подобия треугольников

Чуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.

В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:

Первый о двух соответственно равных углах двух рассматриваемых треугольных фигур.
Второй об угле и образующих его сторонах ∆ MNK , которые равны соответственным элементам ∆ SDH .
Третий указывает на пропорциональность всех соответственных сторон двух нужных фигур.

Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания. Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.

Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет

Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла — это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории

Типы треугольников

Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки (рис. 1).

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков (три точки, не лежащие на одной прямой) – вершинами треугольника.

Рис.1

В таблице 1 перечислены все возможные типы треугольников в зависимости от величины их углов.

Таблица 1 – Типы треугольников в зависимости от величины углов

Рисунок	Тип треугольника	Определение
	Остроугольный треугольник	Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным
	Прямоугольный треугольник	Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным
	Тупоугольный треугольник	Треугольник, у которого один из углов тупой, называют тупоугольным

Остроугольный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным

Прямоугольный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным

Тупоугольный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого один из углов тупой, называют тупоугольным

В зависимости от длин сторон выделяют два важных типа треугольников.

Таблица 2 – Равнобедренный и равносторонний треугольники

Рисунок	Тип треугольника	Определение
	Равнобедренный треугольник	Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника
	Равносторонний (правильный) треугольник	Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником

Равнобедренный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника

Равносторонний (правильный) треугольник

Определение:

Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником

Алгоритм доказательства равенства фигур

Необходимо сориентироваться, для каких треугольников необходимо доказать равенство. Для удобства можно выделить их разными цветами.
На рисунке отметить, все необходимые данные в условии задания.
Проверить есть ли у двух треугольников общая сторона либо угол.
Далее необходимо проанализировать, имеют ли треугольники по две пары равных сторон либо углов. А также необходимо поразмышлять, как можно доказать равенство третьей стороны, либо угла между ними.
При недостатке данных необходимо выяснить: можно ли использовать равенство других треугольников, чтобы доказать равенство нужных по условию.
При необходимости, можно сделать дополнительное построение.

Порядок названия вершин одного треугольника должен быть одинаковым с порядком названия вершин другого треугольника.

Стойки стремянки могут свободно раздвигаться, до того момента, когда их не зафиксировали перемычкой. Жесткость такой конструкции основывается на третьем признаке равенства фигур.