Доказательство теоремы Карно

Содержание

ВЦикл Карно Это последовательность термодинамических процессов, происходящих в двигателе Карно, идеальном устройстве, состоящем только из процессов обратимого типа; то есть те, что произошли, могут вернуться в исходное состояние.

Этот тип двигателя считается идеальным, поскольку ему не хватает рассеяния, трения или вязкости, которые возникают в реальных машинах, что позволяет преобразовывать тепловую энергию в полезную работу, хотя преобразование не выполняется на 100%.

Двигатель построен из вещества, способного выполнять работу, такого как газ, бензин или пар. Это вещество подвержено различным изменениям температуры и, в свою очередь, испытывает колебания своего давления и объема. Таким образом можно перемещать поршень внутри цилиндра.

Доказательства теоремы Карно

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Современное доказательство для идеального газа

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).

Один из возможных вариантов теоретического цикла Карно

Процесс D-E:

Поскольку газ идеальный, \displaystyle{ (dU/dV)_T = 0 } и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре \displaystyle{ T_H }, превращается во внешнюю работу:

\displaystyle{ Q_{D-E} = \int\limits_{ik}^{cd}p {dV} = RT_H \ln\frac{V_{cd}}{V_{ik}}.\qquad }

Процесс В-C:

Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

\displaystyle{ Q_{B-C} = \int\limits_{gh}^{ef}p {dV} = RT_X \ln\frac{V_{ef}}{V_{gh}}.\qquad }

Процессы E-B и C-D:

Поскольку газ идеальный и \displaystyle{ U } зависит только от температуры \displaystyle{ T }, из уравнения \displaystyle{ Q = U_2 — U_1 + A } следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием \displaystyle{ C_VdT + p dV = 0 }, получаем:

\displaystyle{ C_V(T_H — T_X) = \int\limits_{cd}^{gh} p dV = -\int\limits_{ef}^{ik} p dV. }

Чтобы найти связь между \displaystyle{ V_{ik} }, \displaystyle{ V_{cd} }, \displaystyle{ V_{gh} } и \displaystyle{ V_{ef} }, заметим, что, согласно уравнению Пуассона \displaystyle{ TV^{R/C_V}= const }, в адиабатических процессах:

(E → B):\displaystyle{ T_HV_{cd}^{x-1}= T_XV_{gh}^{x-1}, }

(C → D):\displaystyle{ T_XV_{ef}^{x-1}= T_HV_{ik}^{x-1}, }

и, следовательно,

\displaystyle{ \frac{V_{cd}}{V_{ik}} = \frac{V_{gh}}{V_{ef}}. }

Подставляя это соотношение в уравнения и , получаем

\displaystyle{ \frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}} = \frac{T_H}{T_X}. }

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

\displaystyle{ \eta_{max} = \frac{T_H-T_X}{T_H}. }

История

В 1824 году Сади Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода»

Логика рассуждений Карно была такова: «…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами….

Следствие теоремы и ограничения

Следствие теоремы Карно гласит, что две машины Карно имеют одинаковую эффективность, если они обе работают с одними и теми же тепловыми резервуарами.

Это означает, что независимо от содержания, производительность независима и не может быть улучшена путем ее изменения.

Вывод из приведенного выше анализа состоит в том, что цикл Карно — это идеально достижимая вершина термодинамического процесса. На практике есть много факторов, снижающих эффективность, например тот факт, что изоляция никогда не бывает идеальной, а на адиабатических стадиях фактически происходит теплообмен с внешней средой.

В случае автомобиля блок двигателя нагревается. С другой стороны, смесь бензина и воздуха не ведет себя в точности как идеальный газ, который является отправной точкой цикла Карно. Это, чтобы упомянуть лишь несколько факторов, которые вызовут резкое снижение производительности.

Этапы цикла Карно

Анализ проводится с использованием диаграммы P-V (давление – объем), как показано на рисунке 2 (правый рисунок). Целью двигателя может быть охлаждение теплового резервуара 2, отвод тепла от него. В данном случае это охлаждающая машина. Если, с другой стороны, вы хотите передать тепло тепловому резервуару 1, то это Тепловой насос.

Диаграмма P-V показывает изменения давления и температуры двигателя при двух условиях:

— Поддержание постоянной температуры (изотермический процесс).

— Нет теплоотдачи (теплоизоляция).

Необходимо соединить два изотермических процесса, что достигается за счет теплоизоляции.

-Пример 1: КПД тепловой машины

Эффективность теплового двигателя определяется как отношение выходной работы к входной и, следовательно, является безразмерной величиной:

Максимальная эффективность = (Q_вход — Q _{Вылет из}) / Q_вход

Обозначая максимальную эффективность как e_{Максимум}, можно продемонстрировать его зависимость от температуры, которая является самой простой для измерения переменной, например:

а также_{Максимум} =1 — (Т₂/ Т₁)

Где T₂ — температура отстойника, а T₁ — температура источника тепла. Поскольку последнее больше, КПД всегда оказывается меньше единицы.

Предположим, у вас есть тепловой двигатель, способный работать следующим образом: а) от 200 до 400 К, б) от 600 до 400 К. Каков КПД в каждом случае?

-Пример 2: поглощенное и переданное тепло

Тепловой двигатель с КПД 22% производит 1530 Дж работы. Найдите: а) количество тепла, поглощенное из теплового резервуара 1, б) количество тепла, отведенного в тепловой резервуар 2.

а) В этом случае используется определение КПД, так как доступны выполненные работы, а не температуры тепловых резервуаров. КПД 22% означает, что e _{Максимум} = 0,22, поэтому:

Максимальная эффективность = Работа / Q_вход

Количество поглощенного тепла точно Q_вход, так что очищая имеем:

Q_вход = Работа / Эффективность = 1530 Дж / 0,22 = 6954,5 Дж

б) Количество тепла, переданного самому холодному резервуару, определяется по ΔW = Q_вход — Q_{Вылет из}

Q_{Вылет из} = Q_вход – ΔW = 6954,5-1530 Дж = 5424,5 Дж.

Другой способ — от а также_{Максимум} =1 — (Т₂/ Т₁). Поскольку температуры неизвестны, но связаны с теплом, эффективность также можно выразить как:

а также_{Максимум} =1 — (Q_{уступил}/ Q_{поглощен})

Точка

Вы можете начать с любой точки цикла, в которой газ имеет определенные условия давления, объема и температуры. Газ претерпевает ряд процессов и может вернуться к исходным условиям, чтобы начать следующий цикл, а конечная внутренняя энергия всегда такая же, как и начальная. Поскольку энергия сохраняется:

Работа, выполняемая C = Подвод тепла — Тепловая мощность

ΔW = Q_вход — Q_{Вылет из}

Область внутри этой петли или петли, выделенная бирюзовым цветом на рисунке, в точности эквивалентна работе, выполняемой двигателем Карно.

На рисунке 2 отмечены точки A, B, C и D. Мы начнем с точки A по синей стрелке.

Доказательство теоремы Карно.

Чтобы показать, что это так, рассмотрим двигатель Карно, действующий как охлаждающую машину, приводимую в действие двигателем I. Это возможно, поскольку двигатель Карно работает за счет обратимых процессов, как указано в начале.

У нас есть оба: I и R, работающие с одними и теми же термальными резервуарами, и предполагается, что η _> η‘. Если по пути приходит противоречие со вторым началом термодинамики, теорема Карно доказывается путем сведения к абсурду.

Рисунок 3 поможет вам проследить за процессом. Двигатель I забирает количество тепла Q, которое он распределяет следующим образом: выполнение работы на R, эквивалентной W = ηQ, а остальное — это тепло, переданное (1-η) Q тепловому резервуару T₂.

Поскольку энергия сохраняется, верно все следующее:

А ТАКЖЕ_вход = Q = Работа W + тепло, переданное на T₂ = ηQ + (1-η) Q = E_{Вылет из}

Теперь холодильная машина Карно R забирает из теплового резервуара 2 количество тепла, равное:

(η / η´) (1-η´) Q =

Энергия также должна быть сохранена в этом случае:

А ТАКЖЕ_вход = ηQ + (η / η´) (1-η´) Q = (η / η´) Q = Q´ = E_{Вылет из}

Результат — перенос в термобак Т₂ количества тепла, заданного формулой (η / η´) Q = Q´.

Если η больше, чем η´, это означает, что теплового отложения с самой высокой температурой достигло больше тепла, чем я первоначально принял. Поскольку никакой внешний агент, такой как другой источник тепла, не участвовал, единственный способ, который мог произойти, — это отдать тепло более холодным тепловым резервуаром.

Это противоречит второму закону термодинамики. Из этого делается вывод, что невозможно, чтобы η‘ меньше η, поэтому двигатель не может иметь большей эффективности, чем двигатель Carnot R.

Атомная электростанция

Хотя это очень сложная система, первое приближение того, что требуется для производства энергии в ядерном реакторе, выглядит следующим образом:

— Источник тепла, состоящий из радиоактивно разлагающегося материала, например урана.

— Холодный радиатор или резервуар, который был бы атмосферой.

— «Двигатель Карно», в котором используется жидкость, почти всегда проточная вода, к которой от теплового источника подводится тепло для преобразования его в пар.

Когда цикл выполняется, электрическая энергия получается как чистая работа. Когда она преобразуется в пар при высокой температуре, вода достигает турбины, где энергия преобразуется в движение или кинетическую энергию.

Турбина, в свою очередь, приводит в действие электрический генератор, который преобразует энергию своего движения в электрическую. В дополнение к делящимся материалам, таким как уран, в качестве источника тепла, конечно, можно использовать ископаемое топливо.

Что такое цикл Карно?

Цикл Карно имеет место в системе, называемой двигателем Карно или C, которая представляет собой идеальный газ, заключенный в цилиндр и снабженный поршнем, который находится в контакте с двумя источниками при разных температурах T₁ и т₂ как показано на следующем рисунке слева.

Там происходят следующие грубые процессы:

1. Некоторое количество тепла подводится к устройству Q_вход = Q₁ из термобака при высокой температуре T₁.
2. Двигатель Карно C выполняет работу W за счет подводимого тепла.
3. Часть используемого тепла: отходы Q_{Вылет из}, передается в термобак, имеющий более низкую температуру T₂.

Формулировки

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата:
«Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника:
\displaystyle{ \eta = 1 — F(T_H,T_X). }

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников:
\displaystyle{ \eta_n \lt \!\eta_o. }

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя \displaystyle{ T_H } и холодильника \displaystyle{ T_X }:

\displaystyle{ \eta_k = \frac{T_H-T_X}{T_H} = 1 — \frac{T_X}{T_H}. }

\displaystyle{ \eta_k \lt 1 }, ибо практически невозможно осуществить условие \displaystyle{ T_H \rightarrow\infty } и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : \displaystyle{ T_X = 0 }.

4°. Термический к.п.д. \displaystyle{ \eta_o } произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами \displaystyle{ T_H } и \displaystyle{ T_X } нагревателя и холодильника:

\displaystyle{ \eta_o \lt \frac{T_H-T_X}{T_H}. }

5°. Термический к.п.д. \displaystyle{ \eta_n } произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами \displaystyle{ T_H } и \displaystyle{ T_X }:

\displaystyle{ \eta_n \lt \frac{T_H-T_X}{T_H}. }

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.