Понятие и общие сведения
Значение данного коэффициента характеризует теплопроводность материала, которая, в свою очередь, является физическим параметром, отражающим скорость изменения температуры тела в течение нестационарных тепловых процессов. Теплопроводность является мерой тепло-инерционных свойств любого материала.
Численное значение коэффициента температуропроводности определяется как отношение коэффициента теплопроводности материала к произведению удельной теплоёмкости этого материала, взятой при постоянном давлении, на его плотность. Коэффициент температуропроводности измеряется в системе физических единиц СИ в кв.м/секунда. Рассмотрим все три величины – температуропроводность, теплопроводность и удельную теплоёмкость.
Значение коэффициента температуропроводности находится в зависимости от химической и физической природы материала. Вещества в жидкой и особенно газовой фазе имеют невысокие значения этого показателя. Для твердых тел и в особенности металлы, коэффициент температуропроводности обладает наибольшими значениями.
Применение температуропроводности
Теплопроводность в любом аппарате требует изучения температуропроводности. Промышленности используют анализ температуропроводности для оптимизации скорости теплопередачи.
Если мы возьмем конкретный пример, то одним из примеров является изоляция. В изоляции коэффициент температуропроводности материала минимален, поэтому он может противостоять максимальному тепловому потоку.
Мы используем компьютеры, ноутбуки и другие электронные устройства. Вы знаете, каков метод отвода тепла от устройств? Да, это радиаторы.
Радиатор требует более высокого коэффициента температуропроводности, чтобы быстрее передавать тепло от любых устройств.
Увеличение теплопередачи в любой электронике ухудшает ее производительность. В этом случае следует использовать материал с более высокой температуропроводностью, чтобы улучшить его характеристики.
Глубина проникновения температурного сигнала
Температуропроводность позволяет охарактеризовать глубину проникновения (иногда глубину термического скин-слоя ) синусоидального периодического температурного сигнала, накладываемого на поверхность полубесконечной сплошной (или массивной) среды.
Это глубина, на которой амплитуда сигнала затухает в е раз ( постоянная Эйлера ):
- δ(ω)знак равно2κω{\ displaystyle \ delta (\ omega) = {\ sqrt {\ frac {2 \ kappa} {\ omega}}}}
или же :
- δ — глубина проникновения (выражается в метрах по Международной системе ),
- ω периодического сигнала температуры ( рад / с ).
Синусоидальный сигнал температуры на глубине в полубесконечной массе экспоненциально затухает в этой толщине с характерной длиной на коэффициент и задерживается с фазовым сдвигом в радиан.
z{\ displaystyle z}-zδ(ω){\ displaystyle {\ frac {-z} {\ delta (\ omega)}}}еИксп(-zδ(ω)){\ displaystyle \ mathrm {exp} \ left ({\ frac {-z} {\ delta (\ omega)}} \ right)}zδ(ω){\ displaystyle {\ frac {z} {\ delta (\ omega)}}}
За пределами двух-трехкратного значения этой характерной длины диффузионного проникновения почти ничто не проникает через синусоидальные колебания температуры.
Эта длина проникновения для типичного материала с коэффициентом диффузии 1 мм 2 с -1 ( например, глина или земля) в течение периода составляет либо 17 см в течение одного дня, либо 3,2 м в течение одного года. Следовательно, за пределами глубины 10 м годовые колебания температуры не отражаются. В гумусовой почве, очень богатой растениями, например, соломой (стенка торчи), ее может быть в три раза меньше.
Тп{\ displaystyle T _ {\ text {p}}}Тп×,564мм{\ displaystyle {\ sqrt {T _ {\ text {p}}}} \ times 0.564 \, {\ text {mm}}}
Теплопроводность и температуропроводность
Чтобы различать теплопроводность и температуропроводность, рассмотрим два материала с одинаковой теплопроводностью, но с разной температуропроводностью. Оба обеспечивают одинаковую скорость теплового потока в установившемся режиме. В начале процесса теплопередачи материал с более высокой температуропроводностью сначала достигает установившегося состояния по сравнению с другим материалом, поскольку он сохраняет меньше тепловой энергии. Тепловая энергия быстро проникает через этот материал, но после достижения установившегося режима скорость теплового потока будет такой же. Также помните, что материалу с меньшей температуропроводностью требуется больше времени для достижения устойчивого состояния.
Эффективный коэффициент — температуропроводность
Эффективный коэффициент температуропроводности исследовался в различных условиях: вакуум порядка 10 — 4 мм рт.ст., воздух и гелий.
При повышенных температурах эффективный коэффициент температуропроводности увеличивается за счет радиационного теплообмена между твердыми частицами.
|
Термограмма процесса обжига цилиндра, изготовленного из дубровского каолина. |
Знание эффективных термических характеристик ( эффективного коэффициента температуропроводности, эффективной теплоемкости) при изучении кинетики процессов, обжига исключительно велико, только с помощью этих величин можно однозначно, описать процесс обжига.
Как известно, высокие значения эффективных коэффициентов температуропроводности АЭФФ псевдоржижен-ного слоя обусловлены в основном перемешиванием твердой фазы.
|
Схема прогрева плоского неограниченного слоя сыпучего материала. |
X — & — П О — эффективный коэффициент температуропроводности; Bi — число Био ( В / — -) — эффективная теплопроводность; Л — коэффициент теплоотдачи; 8С — температура среды, в которую вносится реакционная смесь.
|
Характеристика топлив, сжигавшихся в опытной установке с кипящим своем. |
Анализ показывает, что решающее влияние на перекосы температур оказывает эффективный коэффициент температуропроводности. При интенсивном перемешивании большой перегрев в топке с кипящим слоем маловероятен.
Выравнивающая способность его более точно может быть оценена с помощью эффективного коэффициента температуропроводности а.
Опыты показали, что в кипящем слое легко можно достичь эффективных коэффициентов температуропроводности, в десятки раз больших, чем для серебр-а. Интересно отметить, что, как и теплопроводность, температуропроводность в вертикальном направлении существенно превышает температуропроводность в горизонтальном направлении.
Здесь а — отношение теплоемкости насыщенной среды к теплоемкости жидкости, К — пористость, определяемая объемом пор в единице объема, a — эффективный коэффициент температуропроводности, а Ckkf ( 1 — h) ks) / ( pcp) f, а подстрочные индексы f и s обозначают жидкость и твердое тело соответственно.
Здесь а — отношение теплоемкости насыщенной среды к теплоемкости жидкости, А, — пористость, определяемая объемом пор в единице объема, a — эффективный коэффициент температуропроводности, a ( kty 4 — ( 1 — К) fa) / ( pc)) ft a подстрочные индексы f и s обозначают жидкость и твердое тело соответственно.
Среди нескольких способов измерения а кипящего слоя, изобретенных учеными, чрезвычайной простотой и удобством обладает метод мгновенного источника теплоты, создаваемого быстрой засыпкой в слой небольшой порции горячих частиц той же фракции, что и в кипящем слое. Непрерывно регистрируя на определенном расстоянии от такого плоского источника теплоты температуру и время наступления ее максимума, рассчитывают величину эффективного коэффициента температуропроводности.
В уравнении движения обычная вязкая сила заменена силой сопротивления Дарси, а также, в силу малости фильтрационной скорости, пренебре-жено всеми инерционными членами. В системе (24.1) р — плотность, соответствующая средней температуре, v — кинематическая вязкость жидкости, К — коэффициент проницаемости, х Кс / ( РСр) ж — эффективный коэффициент температуропроводности среды ( кс — эффективная теплопроводность среды, насыщенной жидкостью; ( рср) ж — теплоемкость единицы объема жидкости), b ( рср) с / ( рср) ж — отношение теплоемко-стей среды и жидкости.
Еще термины по предмету «Теплоэнергетика и теплотехника»
Поставленная энергия
энергия от энергетических источников, подводимая к установкам инженерного оборудования в здании по границам установок с тем, чтобы компенсировать расчетное потребление энергии (например, для отопления, кондиционирования, вентиляции, горячего водоснабжения, освещения, электроснабжения бытовых приборов).
Рекуперация
тепло, которое создается установками технического оборудования зданий (тепло уходящих газов, тепло охлаждения установок, тепло вентиляционных выбросов и т.д.) или связано с обслуживанием зданий (например, подготовка горячего водоснабжения) и утилизируется в соответствующих установках, чтобы снизить потребление тепла в здании.
Тепловые потери, потребление
тепловые потери, обусловленные неравномерным распределением тепловых потоков и отсутствием балансировки отопительных приборов, распре-делительных трубопроводов, теплообменников систем горячего водоснабжения и др.
-
Температуропроводность
-
Коэффициент К
-
Коэффициент
-
Коэффициенты
-
Коэффициент (бета-коэффициент)
-
Коэффициент рассеяния, коэффициент потерь
-
Коэффициент рассеяния; коэффициент светорассеяния
-
И-коэффициент (коэффициент выветривания, истирания)
-
Коэффициент водопотребления
-
Коэффициент седиментации
-
Коэффициентом роста
-
Транспирационный коэффициент
-
Коэффициенты надежности
-
Демографические коэффициенты
-
Коэффициент брачности
-
Коэффициент замещения
-
Коэффициент рождаемости
-
Коэффициент текучести
-
Коэффициент управляемости
-
Тарифный коэффициент
Определение
Температуропроводность, выраженная в м 2 / с в Международной системе , часто обозначается греческими буквами κ или α :
- κзнак равноλρпротивп{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ lambda} {\ rho \, c_ {P}}}}
или же :
- λ{\ displaystyle \ lambda}- теплопроводность материала (в Вт · м −1 · K −1 в Международной системе ),
- ρ{\ displaystyle \ rho}его плотность ( кг / м 3 ),
- противп{\ displaystyle c_ {P}}его удельная теплоемкость при постоянном давлении ( Дж кг −1 · K −1 ).
Температуропроводность — это интенсивная величина . Он характеризует эффективность передачи тепла за счет теплопроводности .
Температуропроводность можно измерить с помощью метода лазерной вспышки.
Теплопроводность
Теплопрово́дностью называется способность материалов осуществлять трансфер тепловой энергии по направлению от нагретых областей тела к более холодным областям тела. Перемещение тепла осуществляется в процессе хаотического перемещения элементарных частиц вещества, это могут быть молекулы, атомы, ионы и т.д. Указанный тепловой процесс протекает практически в любых веществах и предметах, имеющих разницу температур в разных своих частях. Сам механизм перемещения тепловой энергии при этом находится в зависимости от агрегатного состояния, в котором находится рассматриваемое тело.
Теплопроводностью в том числе именуют количественную характеристику тела по проведению через себя тепловой энергии. Это свойство подобно электрической проводимости в электротехнике. Такая особенность материала характеризуется специальной постоянной для каждого вещества – коэффициентом теплопроводности. Такой коэффициент принимается равным количеству теплоты, которое проходит через однородный образец вещества длиной 1 метр, через единицу площади 1 кв.метр за 1 секунду при разнице температур в 1 градус Кельвина (или Цельсия). В упомянутой ранее системе СИ единицей измерения данного коэффициента теплопроводности принят Вт/(м·K).
Изначально ученые считали, что трансфер теплоты осуществляется за счет перетекания предполагаемого «вещества» под названием «теплород» от одного тела или вещества к другому. Эта гипотеза была забракована в ходе развития молекулярно-кинетической теории. Тогда процесс теплопроводности стало возможно объяснить, основываясь на механизмах воздействий элементарных частиц материи друг на друга. Атомы, молекулы и ионы в областях вещества с более высокой температурой перемещаются активнее и таким образом передают свою избыточную энергию при помощи столкновений с менее скоростными «холодными» элементарными частицам, расположенными в менее нагретых областях материала.
Значения коэффициента диффузии некоторых материалов
Типичные значения, довольно разные в здании, в зависимости от условий подготовки и состава материалов, таких как бетон, кирпич, дерево, земля или глина, но остаются примерно близкими к 10-6 м 2 / с (от 0,1 до 1,5 × 10 -6 м 2 / с ), за исключением металлов (в значительной степени зависящих от их чистоты) и обычных очень легких изоляторов с гораздо большим коэффициентом диффузии с практическими последствиями.
Таблицы переведены со страницы Википедии на немецкий язык, см. Также на английском языке:
| Плотность (10 3 кг / м 3 ) | Массовая теплоемкость ( кДж кг −1 · K −1 ) | Теплопроводность ( Вт · м −1 · K −1 ) | Температуропроводность ( 10-6 м 2 / с ) | |
|---|---|---|---|---|
| Алюминий | 2,7 | 0,888 | 237 | 98,8 |
| Вести | 11,34 | 0,129 | 35 год | 23,9 |
| Бронза | 8,8 | 0,377 | 62 | 18,7 |
| Хром | 6,92 | 0,44 | 91 | 29,9 |
| Cr-Ni-Сталь
(X12CrNi18 |
7,8 | 0,5 | 15 | 3,8 |
| Утюг | 7,86 | 0,452 | 81 год | 22,8 |
| Золото | 19,26 | 0,129 | 316 | 127,2 |
| Плавление | 7,8 | 0,54 | 42… 50 | 10… 12 |
| Сталь (<0,4% C ) | 7,85 | 0,465 | 45… 55 | 12… 15 |
| Медь | 8,93 | 0,382 | 399 | 117 |
| Магний | 1,74 | 1.02 | 156 | 87,9 |
| Марганец | 7,42 | 0,473 | 21 год | 6 |
| Молибден | 10.2 | 0,251 | 138 | 53,9 |
| Натрий | 0,97 | 1,22 | 133 | 112 |
| Никель | 8,85 | 0,448 | 91 | 23 |
| Платина | 21,37 | 0,133 | 71 | 25 |
| Серебро | 10,5 | 0,235 | 427 | 173 |
| Титан | 4.5 | 0,522 | 22 | 9,4 |
| Вольфрам | 19 | 0,134 | 173 | 67,9 |
| Цинк | 7.1 | 0,387 | 121 | 44 год |
| Олово , белый | 7,29 | 0,225 | 67 | 40,8 |
| Кремний | 2.33 | 0,700 | 148 | 87 |
| Плотность ( ρ ) (10 3 кг / м 3 ) | Удельная теплоемкость ( ) (кДж / (кг⋅K)) противп{\ displaystyle c_ {p}} |
Теплопроводность ( λ ) (Вт / (м⋅K)) | Температуропроводность ( а ) ( 10-6 м 2 / с) | |
|---|---|---|---|---|
| Полиметилметакрилат (оргстекло) | 1,18 | 1,44 | 0,184 | 0,108 |
| Асфальт | 2,12 | 0,92 | 0,70 | 0,36 |
| Конкретный | 2,4 | 0,88 | 1.1 | 0,54 |
| Лед ( ° C ) | 0,917 | 2,04 | 2,25 | 1 203 |
| Гумус (крупный) | 2,04 | 1,84 | 0,52 | 0,14 |
| Песчаный грунт (сухой) | 1,65 | 0,80 | 0,27 | 0,20 |
| Песчаный грунт (влажный) | 1,75 | 1,00 | 0,58 | 0,33 |
| Глина | 1,45 | 0,88 | 1,28 | 1,00 |
| Стекло | 2,48 | 0,70 | 0,87 | 0,50 |
| Зеркальное стекло | 2,70 | 0,80 | 0,76 | 0,35 |
| Кварцевое стекло | 2,21 | 0,73 | 1,40 | 0,87 |
| Стекловата | 0,12 | 0,66 | 0,046 | 0,58 |
| Гипс | 2,2 бис 2,4 | 1.09 | 0,51 | 0,203 |
| Гранит | 2,75 | 0,89 | 2,9 | 1,18 |
| Графитовый | 2,25 | 0,709 | 119… 165 | 74… 103 |
| Пробка (материал) | 0,19 | 1,88 | 0,041 | 0,115 |
| Мрамор | 2,6 | 0,80 | 2,8 | 1,35 |
| Миномет | 1.9 | 0,80 | 0,93 | 0,61 |
| Бумага | 0,7 | 1,20 | 0,12 | 0,14 |
| Полиэтилен | 0,92 | 2.30 | 0,35 | 0,17 |
| Политетрафторэтилен | 2,20 | 1.04 | 0,23 | 0,10 |
| Поливинил хлорид | 1,38 | 0,96 | 0,15 | 0,11 |
| Фарфор ( 95 ° C ) | 2,40 | 1.08 | 1.03 | 0,40 |
| Сера | 1,96 | 0,71 | 0,269 | 0,193 |
| Каменный уголь | 1,35 | 1,26 | 0,26 | 0,15 |
| Пихта (радиальная) | 0,415 | 2,72 | 0,14 | 0,12 |
| Штукатурка | 1,69 | 0,80 | 0,79 | 0,58 |
| Кирпич | 1,6 … 1,8 | 0,84 | 0,38… 0,52 | 0,28… 0,34 |
| Воздуха | 0,0013 | 1.01 | 0,026 | 20 |
Понятие теплопроводности в физике
Перенос теплоты осуществляется 3 способами:
- Конвекция.
- Излучение.
- Теплопроводность.
Совершая непрерывные хаотические движения, молекулы, атомы, электроны и другие микрочастицы, из которых состоят тела, сталкиваются друг с другом. При этом частицы, обладающие большей энергией, частично передают ее частицам с меньшей энергией.
Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния.
По отдельности в реальном мире виды переноса теплоты практически не встречаются. Чаще всего происходит совместный перенос.
Условная схема теплообмена:
От чего зависит показатель теплопроводности
Показатель теплопроводности зависит от нескольких факторов:
- Температура.
- Условия эксплуатации того или иного материала.
- Влажность. Высокий уровень влажности провоцирует вытеснение сухого воздуха капельками жидкости из пор, из-за чего значение увеличивается многократно.
- Агрегатное состояние вещества. Самой высокой теплопроводностью обладают твердые тела, самой низкой — газы (в частности, вакуум).
- Структура, пористость (поры говорят о неоднородности структуры: когда через них проходит тепло, охлаждение будет минимальным); плотность вещества (большая плотность способствует более активному взаимодействию частиц, теплообмен и уравновешивание температур протекает быстрее).
Применение показателя теплопроводности на практике
Тепловая энергия широко используется в технике и в быту. Все способы ее применения можно разделить на два способа:
- энергетический (для преобразования тепла в механическую работу);
- технологический (для направленного изменения свойств различных тел).
Процессы преобразования теплоты в работу изучаются в технической термодинамике, а процессы непосредственного использования — в теплопередаче.
Правильная организация рабочих процессов в теплоэнергетике, в химической, пищевой промышленности, в технике холода, в металлургии, в строительной индустрии, электротехнике невозможна без знания законов теплопередачи и учета показателей теплопроводности в различных элементах машин и аппаратов, химической и других отраслей промышленности.
Теория теплообмена широко применяется на практике. Например, в строительстве важны значения теплопроводности различных утеплителей (минеральная вата, пенополистирол и т.д.).
Коэффициент теплопроводности материала
Для количественной оценки теплопроводности существует коэффициент теплопроводности материалов.
Коэффициент теплопроводности обозначается λ и измеряется в Вт/(м²*К). Данная величина показывает, какое количество тепла проходит за 1 ч через 1 м² материала толщиной 1 м при разности температур в 1 градус. Например, значение коэффициента теплопроводности стали — 52 Вт/(м²*К). Это означает, что за 1 ч через 1 м² стали толщиной 1 м при разности температур в 1° пройдет 52 Вт тепловой энергии.
Формула нахождения коэффициента теплопроводности выражается следующим уравнением:
λ=(Q/t)*(d/SΔT), где
λ — коэффициент теплопроводности,
Q — количество тепла, протекающего через тело,
t — время,
d — толщина перегородки,
S — площадь поперечного сечения,
ΔT — разность температур.
Из данной формулы можно вывести количество тепла: Q=λ(SΔTt/d).
Таблица сравнения коэффициентов теплопроводности различных материалов.
Например, посмотрите, насколько отличаются значения плотного металла алюминия и пористой минеральной ваты.
Удельная теплоёмкость
Удельной теплоемкостью материала называется физическая величина, которая равна количеству тепловой энергии, необходимой для передачи телу с массой 1 килограмм для повышения температуры этого тела на 1 градус К. В международной системе единиц СИ удельная теплоемкость обозначается латинской буквой С, а единицей ее измерения является «джоуль на килограмм-кельвин» или Дж/кг*градусК.
Исходя из вышесказанного значение удельной теплоёмкости материала можно интерпретировать как теплоёмкость единицы его массы. Температура самого вещества и, следовательно, окружающей среды оказывает прямое влияние на величину удельной теплоёмкости. При различной температуре показатель удельной теплоёмкости любого материала будет отличаться.
Коэффициент — температуропроводность
Коэффициент температуропроводности является характеристикой, используемой при расчетах тепловых режимов трения.
|
Перераспределение темпера. |
Коэффициент температуропроводности зависит от температуры; в случае газов он зависит также и от давления. Значения коэффициента а для различных материалов приведены в приложениях.
|
К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки. |
Коэффициент температуропроводности а является физической величиной и характеризует собой теплоинерционные свойства тел. При прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.
|
Коэффициент температуропроводности некоторых пород. |
Коэффициент температуропроводности характеризует температурные изменения в пористой среде при переменном во времени режиме. Он служит мерой скорости, с которой пористая среда передает изменение температуры с одного места в другое.
Коэффициент температуропроводности может быть определен из выражения (VII.6), если известны теплоемкость, коэффициент теплопроводности и объемный вес породы. Ко эффициент температуропроводности может быть определен также и экспериментальным s путем. В этом случае из керна f выпиливают образец цилиндрической , в центре которого в осевом направлении просверливают до середины канал для заделки в нем горячего спая дифференциальной термопары. Предварительно нагретый образец породы 7 с заделанной в нем термопарой 5 погружают в водяной термостат ( фиг. Второй медьГ 3 — константан; 4 — Спай термопары 6, Соединенный С пер — спайВтермопары; 6 — Голодный ВЫМ Спаем КОНСТантанОВЫМ ПрОВОДОМ 3, спай термопары; Г — образец.
Коэффициент температуропроводности или диффузии теплоты ( а Я / ср) с увеличением влагосодержания увеличивается, а затем уменьшается, так что кривая а и) имеет максимум. Этот максимум соответствует переходу от одной формы связи влаги к другой.
|
Удельная теплоемкость железа в зависимости от температуры. |
Коэффициент температуропроводности а является основным тепловым параметром для процессов теплопроводности при не установившемся во времени режиме.
Коэффициент температуропроводности а, табл. 54) есть отношение теплопроводности вещества к его удельной объ ( М1 — ой теплоемкости при постоянном давлении.
Коэффициент температуропроводности а входит множителем в дифференциальное уравнение теплопроводности и имеет размерность м2 / с. Величина а определяется соотношением а К / СР5 — Это комплексный параметр, характеризующий теплоинерционные свойства горных пород. Он выражает изменение температуры единицы объема среды за единицу времени. Горные породы различаются по температуропроводности более чем в 100 раз.
Коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры.
Коэффициент температуропроводности является показателем диффузии внутренней энергии в материале; его величина пропорциональна скорости распространения изотермической поверхности.
Закон Фурье. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Рис. 1.1 — Тепловой баланс в элементарном объеме тела
В основе теории теплопроводности лежит закон Фурье, характеризующий связь переносимого внутри тела теплоты с температурным состоянием в непосредственной близости от рассматриваемого места. В условиях повседневной деятельности наблюдается вполне определенное
направление переноса теплоты — от тел более нагретых к телам менее нагретым.
В результате этого энергия отдающего теплоту тела убывает, а энергия теплоприемника возрастает. Конечный результат теплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же тела состоит в уравнении их температур.
Закон Фурье утверждает, что величина вектора плотности теплового потока q пропорциональна градиенту температуры
Коэффициент пропорциональности X, называемый коэффициентом теплопроводности, служит физической характеристикой вещества и зависит, прежде всего, от температуры .
Количество теплоты, прошедшей в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком. В общем случае его величина определяется выражением
где Q — тепловой поток через поверхность F; dF — элемент изотермической поверхности.
Полное количество теплоты, прошедшей за время т через изотермическую поверхность F, можно представить в виде двойного интеграла
Не требует доказательства тот факт, что наибольшим удельным потоком теплоты является тот, который рассчитан вдоль нормали к изотермическим поверхностям.
Математическая модель теплообменных систем строится на основе дифференциального уравнения теплопроводности, которое выражает принцип сохранения тепловой энергии и выводится следующим образом.
Выделим мысленно внутри тела элементарный объем, в котором равномерно распределены источники теплоты (рис. 1.1), объемная мощность тепловыделения которых равно qv.
Приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме составит
где dQi — количество теплоты, выделенной внутренними источниками,
dQ2 — количество теплоты, ушедшей сквозь поверхность наружу.
Для определения величины dQ2 рассмотрим направление по оси х. В этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема dQx теплоты, которую можно определить из уравнения (1.3)
Через противоположную грань за тот же промежуток времени вытечет из объема dQx+dx теплоты
Результативное количество проходящей теплоты составит
Полное количество проходящей через элементарный объем теплоты во всех трех направлениях составит
Изменение внутренней энергии тела можно вычислить через теплоемкость и приращение температуры
Подставим выражения (1.6), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.5), получим дифференциальное уравнение теплопроводности в прямоугольной системе координат
Очевидно, что уравнению (1.12) можно придать следующий вид где
Зная вблизи той или иной точки зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет изменяться температура в этой точке с течением времени.
Уравнение (1.13) упрощается, когда отсутствует в теле источники тепловыделения, т.е. qv= 0. Еще более простой вид оно приобретает для случая стационарной теплопроводности, когда — = 0. Предельно простой
вид имеет дифференциальное уравнение, описывающее стационарную одномерную теплопроводность
Часто задачи теплообмена в стволе скважины приходится решать в цилиндрической системе координат, для которой дифференциальное уравнение представляет собой следующее выражение:
где г — радиус-вектор; (р — полярный угол; z — аппликата.
Физический смысл дифференциального уравнения теплопроводности (уравнения Фурье) заключается в том, что им связывается пространственное распределение температуры с изменением его во времени. При этом, чем больше коэффициент температуропроводности, тем быстрее меняется во времени температура. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температуры во всех точках рассматриваемой системы будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как коэффициент температуропроводности у них велик .