Исследование функции — схема, примеры с решением и построение графиков

Логарифмические функции

По аналогии с показательными функциями, в задаче B15 встречаются только натуральные логарифмы, поскольку их производная легко считается:

1. (ln x)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). В частности, если b = 0, то (ln(kx))’ = 1/x.

Таким образом, производная всегда будет дробно-рациональной функцией. Остается лишь приравнять эту производную и ее знаменатель к нулю, а затем решить полученные уравнения.

Для поиска максимального или минимального значения логарифмической функции помните: натуральный логарифм обращается в «нормальное» число только в точках вида en. Например, ln 1 = ln e = 0 — это логарифмический ноль, и чаще всего решение сводится именно к нему. В остальных случаях «убрать» знак логарифма невозможно.

Считаем производную:

Находим нули производной и ее знаменателя:
y’ = 0 ⇒ 2×2 − 3x + 1 = 0 ⇒ … ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 — тут решать нечего.

Из трех чисел x = 0, x = 0,5 и x = 1 внутри отрезка лежит только x = 1, а число x = 0,5 является его концом. Имеем:
y(0,5) = 0,52 − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 12 − 3·1 + ln 1 = −2;
y(5) = 52 − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Из полученных трех значений лишь y = −2 не содержит знака логарифма — это и будет ответ.

Вычисляем производную:

Выясняем, когда производная или ее знаменатель равны нулю:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 — уже решено.

Вычеркиваем число x = 0, поскольку оно лежит за пределами отрезка . Считаем значение функции на концах отрезка и в точке x = 1/6:
y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.

Очевидно, только y = 3 может выступать в качестве ответа — остальные значения содержат знак логарифма и не могут быть записаны в бланк ответов.

1. Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
2. Общая схема решения задач B15
3. Формула полной вероятности
4. Решение задач B1: №17—32
5. Сложные задачи на проценты
6. Задача B4: Цены на продукты в трех городах

Монотонные функции

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными функциями.

Например, функция у = х- возрастающая (строго монотонная) на всей числовой оси; функция -возрастает на полуоси х > О и убывает при ; функция у = signx — неубывающая на всей числовой оси; убывает при .

Теорема 14.1.1. (Критерий монотонности) Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,b). Для того, чтобы f не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале. Для того чтобы функция / возрастала (убывала) на интервале (а, b), достаточно чтобы производная была положительной (отрицательной) на этом интервале.

Доказательство: Пусть — любые две точки из интервала (а, b), удовлетворяющие условию Поскольку функция f(x) дифференцируема, а стало быть и непрерывна на (а, b), то она непрерывна и дифференцируема на отрезке. Поэтому к функции можно применить теорему Лагранжа:

(14.1.1)

где .

Необходимость. Пусть функция f дифференцируема на интервале (а, b) и не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что на этом интервале. Рассмотрим равенство (14.1.1). Левая часть равенства поскольку функция f не убывает (не возрастает) и по условию, тогда и на интервале — любые две точки из интервала (а,b)).

Достаточность. Пусть теперь на интервале (а,b). Тогда из (14.1.1) следует, что,т.е. так

Поскольку — любые две точки из интервала, то функция f не убывает (не возрастает ) на интервале (а, b).

Аналогично теорема доказывается и для возрастающей (убывающей) функции.

Из доказанной теоремы следует, что для определения интервалов монотонности функции нужно:

1. Найти область определения функции.
2. Вычислить ее производную.
3. Приравнять производную к нулю; полученные нули производной разобьют область определения на интервалы, в которых производная сохраняет знак.
4. Определить знак производной в каждом интервале при помощи «пробной» точки и сделать вывод.

Пример:

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

Область определения заданной функции — вся числовая ось Производная этой функции обращается в нуль в точках:.

Составим схему изменения знаков производной:

Согласно теореме’ 14.1.1, данная функция возрастает при и убывает при .

Функция не убывает в области определения (при поскольку ;

Функция , определенная при , возрастает, поскольку

Выпуклость и вогнутость функций

Нарисуем две немного отличающиеся друг от друга возрастающие ф-кции:

Видно, что эти графики будто выгнуты в разные стороны. Оказывается, в математике есть специальное свойство ф-кций, которое указывает на направление, в котором выгнуты их графики. Левая ф-кция является вогнутой функцией, а правая – выпуклой функцией.

Определить, выпукла или вогнута ф-кция, очень просто. Достаточно провести к графику касательную. Если она проходит выше графика, то это указывает на вогнутость функции, а если ниже, то она выпукла:

Естественно, встречаются ф-кции, которые на одном промежутке выпуклые, а на другом – вогнутые. Классическим примером является кубическая парабола у = х3. На промежутке (– ∞; 0] она вогнутая, а на промежутке [0; + ∞) она становится выпуклой. При этом в точке х = 0 она меняет свой характер. Такая точка называется точкой перегиба функции:

Ранее мы уже заметили, что точка х = 0 для ф-кции у = х3 – этой пример критической точки, которая не является экстремумом. Действительно, произ-ная ф-кции у = х3 имеет вид

и она обращается в ноль при х = 0, однако в этой точке ф-кция возрастает. Это подсказывает нам, что критические точки, в которых ф-кция НЕ меняет своего знака, являются точками перегиба. И это действительно так.

Заметим, однако, что в общем случае точка перегиба может и вовсе не являться критической точкой ф-кции. В рамках школьного курса мы не будем детально изучать выпуклость функций и точки перегиба. Отметим лишь, что для их поиска необходимо вычислять уже не только первую, но и вторую произ-ную функции.

Схема решения задач B15

Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f(x) на отрезке , выполняем следующие действия:

1. Найти производную функции: f’(x).
2. Решить уравнение f’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому.
3. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка . Оставшиеся числа обозначим x₁, x₂, …, x_n — их, как правило, будет немного.
4. Подставим концы отрезка и точки x₁, x₂, …, x_n в исходную функцию. Получим набор чисел f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Их тоже можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение f’(x) = 0 не имело решений.

Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки x₁, x₂, …, x_n подставляются именно в функцию, а не в ее производную.

Для начала найдем производную: y’ = (x3 + 3×2 − 9x − 7)’ = 3×2 + 6x − 9.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 3×2 + 6x − 9 = 0 ⇒ … ⇒ x = −3; x = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку .

Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3:
y(−5) = (−5)3 + 4·(−5)2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3)3 + 4·(−3)2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 03 + 4·02 − 9·0 − 7 = −7.

Очевидно, наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f(x) на отрезке . Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

1. Найти производную функции: f’(x).
2. Решить уравнение f’(x) = 0. Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x₁, x₂, …, x_n.
3. Отметить x₁, x₂, …, x_n на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок , отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами.
4. Среди оставшихся точек ищем такую, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка минимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x₁, x₂, …, x_n. Помните: при переходе через корень четной кратности знак у производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки всегда просматриваются слева направо, т.е. по направлению числовой оси.

Найдем производную:

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю производную и ее знаменатель:
y’ = 0 ⇒ x2 − 25 = 0 ⇒ … ⇒ x = 5; x = −5;
x2 = 0 ⇒ x = 0 (корень второй кратности).

Отметим точки x = −5, x = 0 и x = 5 на координатной прямой, расставим знаки и границы:

Очевидно, что внутри отрезка осталась лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Еще раз поясним, чем отличаются точки экстремума от самих экстремумов. Точки экстремума — это значения переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремумы — это значения самих функций, максимальные или минимальные в некоторой своей окрестности.

Помимо обычных многочленов и дробно-рациональных функций, в задаче B15 встречаются следующие виды выражений:

1. Иррациональные функции,
2. Тригонометрические функции,
3. Показательные функции,
4. Логарифмические функции.

С иррациональными функциями проблем, как правило, не возникает. Остальные случаи стоит рассмотреть более подробно.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения — все действительные числа;

2) $f’\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f’\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:

\ \[f’\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:

Рисунок 4.

Получаем:

Функция возрастает, при $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция убывает, при $\left(2,3\right)$.

Точка $x=2$ — точка максимума, точка $x=3$ — точка минимума.

Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений либо во внутренних точках промежутка, либо на его концах. Поэтому для решения задач этого раздела достаточно определить значения функции в точках экстремума и сравнить их с её значениями на концах отрезка. Выявлять тип экстремума необязательно.

посмотреть здесь.

Задача 7

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

D(f) = (−∞;+∞).y’ = 3×2 + 4x + 1. Функция непрерывна на всей области определения. Точек, где y’ не существует, нет.Решаем уравнение y’ = 0: 3×2 + 4x + 1 = 0Дискриминант D = 16 − 12 = 4. Корни x_1,2 = −4 ± 2______  6, x₁ = −1/3; x₂ = −1.

Находим значения функции в этих точках и на краях отрезкаy(x) = x3 + 2×2 + x + 3;y(−4) = (−4)3 + 2(−4)2 − 4 + 3 = −64 + 2·16 − 4 + 3 = −33;y(−1/3) = (−1/3)3 + 2(−1/3)2 − 1/3 + 3 = −1/27 + 2·1/9 −1/3 + 3 = 223__27;y(−1) = (−1)3 + 2·(−1)2 − 1 + 3 = −1 + 2 − 1 + 3 = 3.

Выбираем самое большое из получившихся значений y. Это y(−1) = 3.

Ответ: 3

Задача 8

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−π/4; π/4].

Решение

На отрезке [−π/4; π/4] заданная функция определена и непрерывна (см. график tgx).

y’ = 36·_____  1cos2x − 36 + 0;

y’ не существует при cosx = 0, x_n = _π2·n, n Є Z. Ни одна из этих точек не входит в промежуток [−π/4; π/4].

y’ = 0 при cos2x = 1, cosx = ±1, x_k = πk, k Є Z. Отрезку [−π/4; π/4] принадлежит только точка x = 0.

Определяем значения функции в этой точке и на концах отрезка.y(x) = 36tgx − 36x + 9π + 7 y(0) = 36tg0 − 36·0 + 9π + 7 = 0 − 0 + 9π + 7 ≈ 9·3,14 + 7 = 35,26y(−π/4) = 36tg(−π/4) − 36·(−π/4) + 9π + 7 = 36·(−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18·3,14 = 27,52y(π/4) = 36tg(π/4) − 36·π/4 + 9π + 7 = 36·1 − 9π + 9π + 7 = 43.Самым большим из этих чисел является число 43.

Ответ: 43

Замечание: При дифференцировании не забудьте, что π — такая же константа, как любое другое число. Поэтому π’ = 0.

Задача 9

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение

Функция определена и непрерывна при всех x > 0, в том числе и на отрезке .

y’ = 4x − 13 + 9·1_x + 0 = 4×2 − 13x + 9___________  x

y’ не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток. Не рассматриваем.

y’ = 0 при 4×2 − 13x + 9 = 0Решаем это квадратное уравнение через дискриминант, находим корни x₁ = 1, x₂ = 9/4 = 2,25.

x₁ = 1 является серединой заданного отрезка, x₂ = 2,25 не принадлежит отрезку. Значит нужно определить значения функции y(13/14), y(1) и y(15/14) и сравнить их между собой. Однако в данном случае вычисление значений y(13/14) и y(15/14) может оказаться слишком громоздким и с большой вероятностью привести к ошибкам. Проще вернуться к исследованию поведения производной в окрестности найденной точки экстремума.

y’ представляет собой дробь, знаменатель которой на отрезке [13/14;15/14] положителен. Значит знак производной на этом отрезке зависит только от числителя, т.е. определяется знаком квадратного трёхчлена 4×2 − 13x + 9. Графиком этого квадратного трёхчлена является парабола с ветвями, направленными вверх (4 > 0), пересекающая ось абсцисс в двух точках x₁ и x₂. Чертим «от руки» эскиз этого графика и видим, что левее корня x₁ квадратный трёхчлен, а значит и вся производная будут иметь знак «+», а правее — знак «−». Вывод: заданная в условии задачи функция на заданном отрезке левее x₁ = 1 возрастает, правее — убывает. Эта точка является точкой максимума внутри отрезка, значение функции в ней будет наибольшим.

Определяем егоy(x) = 2×2 − 13x + 9lnx + 8 y(1) = 2·12 − 13·1 + 9·ln1 + 8 = 2 − 13 + 9·0 + 8 = −3.

Ответ: −3

Задача 10

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение

На отрезке функция определена и непрерывна (x = 0 не принадлежит отрезку).

y’ = (x2 + 25)’·x − x’·(x2 + 25)_____________________    (x)2 = (2x + 0)·x − 1·(x2 + 25)___________________     x2 = x2 − 25______    x2.

y’ не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток.

y’ = 0 при x2 − 25 = 0, x2 = 25, x = ±5.

x₁ = −5 не принадлежит отрезку , x₂ = 5 внутренняя точка отрезка.Находим значения функции

y(x) = x2 + 25______    x;

y(1) = 12 + 25______    1 = 26;

y(5) = 52 + 25______    5 = 10;

y(10) = 102 + 25_______    10 = 12,5.

Наименьшее значение y(5) = 10.

Ответ: 10

Вернуться и повторить другие задачи на производную.

1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.

Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’\in X$, если выполняется

\

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’\in X$, если выполняется

\

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

1. Найти $f'(x)$;
2. Найти точки, в которых $f’\left(x\right)=0$;
3. Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
4. Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $$;
5. Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $$;
6. Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.