Формула планка, законы вина и стефана

Интегральная энергетическая светимость

Гораздо чаще вместо полной плотности энергии равновесного излучения пользуются понятием интегральной энергетической светимости абсолютно черного тела (интегральной излучательной способности абсолютно черного тела) (${\varepsilon }_T$). Интегральная энергетическая светимость характеризует плотность потока излучения с поверхности по всем направлениям (пространственный угол $2\pi $). Объемная плотность энергии абсолютно черного тела или полная плотность энергии равновесного излучения одинакова во всех точках и зависит только от температуры. С плотностью интегральная излучательная способность абсолютно черного тела связана формулой:

Следовательно, из формул (4) и (5), получаем:

Уравнение Стефана-Больцмана

где $ \sigma =\frac{c\cdot a}{4}=7,6•{10}^{-16}\frac{3•{10}^8}{4}=5,7{\cdot 10}^{-8}(Вт\cdot м^{-2}\cdot К^{-4})$- постоянная Стефана — Больцмана. Более точное значение постоянной равно $\sigma =5,67{\cdot 10}^{-8}Вт\cdot м^{-2}\cdot К^{-4}$. А уравнение (6) называется уравнением Стефана — Больцмана.

Закон Стефана — Больцмана для серого тела

Для серого тела закон Стефана — Больцмана можно записать следующим образом:

где ${\varepsilon }_s$ — энергетическая светимость серого тела, $\alpha $- коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

Давление, которое производит черное излучение на стенки полости, выразится следующим образом:

Спектральная плотность объемной плотности энергии поля черного тела излучения имеет вид:

где $dw$- объемная плотность энергии поля излучения в интервале частот от $\nu \ до\ \nu +d\nu $, ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$— излучательная способность абсолютно черного тела.

Пример 1

Задание: Поток энергии, который излучается из смотрового окошка плавильной печи, равен Ф. Найдите температуру в печи, если площадь отверстия S.

Решение:

Будем считать, что плавильная печь является эквивалентной модели абсолютно черного тела.

За основу решения задачи примем формулу, которая определяет поток энергии через отверстие печи:

где ${\varepsilon }_{T\ }$- излучательная способность абсолютно черного тела, и она может быть найдена по закону Стефана — Больцмана:

где $\sigma$- постоянная Стефана — Больцмана.

Подставим (1.2) в (1.1), получим:

\{\frac{\sigma S}{Ф}}\left(1.3\right),\]

Ответ: Температура в плавильной печи может быть рассчитана по формуле: $T=\sqrt{\frac{\sigma S}{Ф}}.$

Пример 2

Задание: Во сколько раз необходимо увеличить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз?

Решение:

За основу решение примем закон Стефана — Больцмана:

Запишем его дважды для состояния (1) с температурой $T_1$ и энергетической светимостью ${\varepsilon }_{T\ 1}$, получим выражение:

Для состояния (2) с температурой $T_2$ и энергетической светимостью ${\varepsilon }_{T\ 2}$, получим выражение:

Найдем отношение выражений (2.3) и (2.2), учитывая, что по условию задачи $\frac{{\varepsilon }_{T2\ }}{{\varepsilon }_{T1\ }}=n$, получим:

Из (2.4) следует, что

\{n}\ \left(2.5\right).\]

Ответ: Полученное равенство (2.5) означает, что термодинамическую температуру абсолютно черного тела необходимо увеличить в $\sqrt{n}$ раз, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз.

Пример 3

Задание: Энергетическая светимость серого тела при температуре T равна ${\varepsilon }_s$. Определите коэффициент теплового излучения данного тела.

Решение:

В качестве основы для решения примем закон Стефана — Больцмана для серого тела:

Из этого закона выразим коэффициент $\alpha ,$ так как именно он является коэффициент теплового излучения тела в условиях задачи:

Ответ: Коэффициент теплового излучения тела равен $\alpha =\frac{{\varepsilon }_s}{\sigma T^4}.$

Использование закона Стефана-Больцмана

Йозеф Стефан применил самостоятельно открытый закон на практике. С помощью выведенной закономерности ученому удалось определить температуру, которой обладает поверхность Солнца. Стефан использовал данные Чарльза Сорета, в которых указано, что величина плотности потока солнечной энергии в 29 раз превышает аналогичные показатели электромагнитного излучения нагретой пластины из металла. Ученый разместил пластину от датчика электромагнитного излучения под тем же углом, под которым видно Солнце с нашей планеты. Результаты эксперимента Сорета оценивали температуру пластины в 1900-2000 градусов.

В опыте Йозефа Стефана было учтено, что солнечное излучение поглощается атмосферой на Земле. По его предположению, поток энергии от звезды в реальных условиях в 43,5 раз превышает аналогичные показатели нагретой пластины. Данное исследование послужило началом для ряда экспериментов по измерению точного атмосферного поглощения энергии от Солнца, которые проводились в период с 1888 по 1904 года.

Формула смещения Вина

В. Вин доказал, что равновесное излучение, которое заключено в оболочке с идеально отражающими стенками, остается равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки. Значение теоремы Вина методическое. Адиабатически и квазистатический изменяя объем равновесного излучения в оболочке, можно получить равновесное излучение любой плотности, значит и температуры. Энергию или температуру данного излучения находят, вычисляя работу, совершенную над исследуемым объемом в данном процессе. Спектральный состав излучение будет найден, если вычислить доплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Так устанавливается соотношение параметров равновесного излучения в любой стадии процесса. В 1893 г. В. Вин используя законы термодинамики и электромагнетизма показал, что функция спектрального распределения имеет вид:

где $F$ — некоторая функция отношения частоты к температуре. Если переписать выражение (6), используя функция для длины волны ($\varphi (\lambda ,T)$), то получим:

где $\Psi \left(\lambda ,T\right)$ — некоторая функция от произведения $\lambda T.$ Из выражения (7) можно вычислить длину волны, на которую приходится максимум функции $\varphi \left(\lambda ,T\right)$. Найдем производную $\frac{d\varphi }{d\lambda }$, имеем:

В максимуме выражение (8) равно нулю (${\left.\frac{d\varphi }{d\lambda }\right|}_{\lambda ={\lambda }_{max}}=0$). Выражение в квадратных скобках формулы (8) — некоторая функция $\theta (\lambda T)$, то есть:

Известно, что длина волны конечна, то есть ${\lambda }_{max}\ne \infty .$ Следовательно, выполняется условие:

Решение уравнения (10) по отношению к ${\lambda }_{max}T$ дает некоторое число, которое чаще всего в данном случае обозначают буквой b:

Выражение (11) называют законом (формулой) смещения Вина в его специальной форме. Формула (11) показывает результат смещения максимума излучения при изменении температуры (T). Эмпирическим путем, получена постоянная $b=2,9\cdot {10}^{-3}м\cdot К$.

Закон Вина можно записать в другой форме:

где ${\omega }_m=\frac{2\pi с}{{\lambda }_{max}}$.

Пример 1

Какова мощность, требуемая для поддержания температуры расплавленного вещества $T=1500K$ постоянной, если площадь его поверхности равна $S=1м^2?$ Считать, что мы имеем дела с абсолютно черным телом. Потери энергии малы.

Решение:

Мощность излучения можно рассчитать по формуле:

Используем закон Стефана — Больцмана для нахождения энергетической светимости черного тела:

В таком случае искомая величина может быть вычислена с использованием выражения:

Проведем вычисления:

Ответ: $N=2,9\cdot 10^5Вт.$

Пример 2

Считая, что Солнце является черным телом, используя то, что его максимальная спектральная плотность энергетической светимости соответствует длине волны $500$нм, определить какова температура поверхности данной звезды.

Решение:

Для решения задачи используем закон смещения Вина:

Выразим из него искомую температуру, получим:

Переведем длину волны света, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости в систему СИ ${\lambda }_{max}=500\ нм=5\cdot {10}^{-7}м.$ Проведем вычисления:

Ответ: $T=5,8\cdot {10}^3K.$

Формула Планка.[]

Выразим суммарную энергию фотонов через объемную спектральную плотность излучения uω{\displaystyle u_{\omega }}, т.е. через энергию отнесенную к единице объема и к единичному интервалу изменения частоты:

uωVdω=ng(E)EdE{\displaystyle u_{\omega }Vd\omega =ng(E)EdE}

Подставляя в это выражение

g(E)=VE2π2c3ℏ3{\displaystyle g(E)={\frac {VE^{2}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}}

n=1exp(EkT)−1{\displaystyle n={\frac {1}{{\mbox{exp}}(E/kT)-1}}}

найдем

uωVdω=VE2π2c3ℏ3EdEexp(EkT)−1{\displaystyle u_{\omega }Vd\omega ={\frac {VE^{2}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}{\frac {EdE}{{\mbox{exp}}(E/kT)-1}}}

Сокращая обе части равенства на V{\displaystyle V}, заменяя E{\displaystyle E} на ℏω{\displaystyle \hbar \omega } и dE{\displaystyle dE} на ℏdω{\displaystyle \hbar d\omega }, найдем окончательно

uωdω=ℏω3π2c3dωexp(ℏωkT)−1{\displaystyle u_{\omega }d\omega ={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {d\omega }{{\mbox{exp}}(\hbar \omega /kT)-1}}}

Полученное соотношение называется формулой Планка.

Формулу Планка часто записывают через спектральную плотность излучения, отнесенную к единичному интервалу длин волн:

uλdλ=16π2ℏcexp(2πhcλkT)−1dλλ5{\displaystyle u_{\lambda }d\lambda =16\pi ^{2}{\frac {\hbar c}{[{\mbox{exp}}(2\pi hc/\lambda kT)-1]}}{\frac {d\lambda }{\lambda ^{5}}}}