Тепловой поток Плотность теплового потока Закон Фурье

Чем закон теплопроводности Фурье противоречит теории относительности?

Закон Фурье противоречит теории относительности из-за его мгновенного распространения тепла через диффузию тепла. Если мы рассмотрим зависящую от времени диффузию тепла с помощью уравнения в частных производных, то рост теплового потока будет со временем релаксации. На этот раз порядка 10 -11 . Распространение тепла в природе занимает бесконечное время. Время релаксации незначительно.

Если исключить время релаксации, уравнение станет законом теплопроводности Фурье. Это нарушает популярную теорию Эйнштейна (теория относительности). Скорость света в вакууме составляет 2.998 * 10. 8

Закон Фурье. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рис. 1.1 — Тепловой баланс в элементарном объеме тела

В основе теории теплопроводности лежит закон Фурье, характеризующий связь переносимого внутри тела теплоты с температурным состоянием в непосредственной близости от рассматриваемого места. В условиях повседневной деятельности наблюдается вполне определенное

направление переноса теплоты — от тел более нагретых к телам менее нагретым.

В результате этого энергия отдающего теплоту тела убывает, а энергия теплоприемника возрастает. Конечный результат теплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же тела состоит в уравнении их температур.

Закон Фурье утверждает, что величина вектора плотности теплового потока q пропорциональна градиенту температуры

Коэффициент пропорциональности X, называемый коэффициентом теплопроводности, служит физической характеристикой вещества и зависит, прежде всего, от температуры .

Количество теплоты, прошедшей в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком. В общем случае его величина определяется выражением

где Q — тепловой поток через поверхность F; dF — элемент изотермической поверхности.

Полное количество теплоты, прошедшей за время т через изотермическую поверхность F, можно представить в виде двойного интеграла

Не требует доказательства тот факт, что наибольшим удельным потоком теплоты является тот, который рассчитан вдоль нормали к изотермическим поверхностям.

Математическая модель теплообменных систем строится на основе дифференциального уравнения теплопроводности, которое выражает принцип сохранения тепловой энергии и выводится следующим образом.

Выделим мысленно внутри тела элементарный объем, в котором равномерно распределены источники теплоты (рис. 1.1), объемная мощность тепловыделения которых равно q_v.

Приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме составит

где dQ_i — количество теплоты, выделенной внутренними источниками,

dQ₂ — количество теплоты, ушедшей сквозь поверхность наружу.

Для определения величины dQ₂ рассмотрим направление по оси х. В этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема dQ_x теплоты, которую можно определить из уравнения (1.3)

Через противоположную грань за тот же промежуток времени вытечет из объема dQ_x+dx теплоты

Результативное количество проходящей теплоты составит

Полное количество проходящей через элементарный объем теплоты во всех трех направлениях составит

Изменение внутренней энергии тела можно вычислить через теплоемкость и приращение температуры

Подставим выражения (1.6), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.5), получим дифференциальное уравнение теплопроводности в прямоугольной системе координат

Очевидно, что уравнению (1.12) можно придать следующий вид где

Зная вблизи той или иной точки зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет изменяться температура в этой точке с течением времени.

Уравнение (1.13) упрощается, когда отсутствует в теле источники тепловыделения, т.е. q_v= 0. Еще более простой вид оно приобретает для случая стационарной теплопроводности, когда — = 0. Предельно простой

вид имеет дифференциальное уравнение, описывающее стационарную одномерную теплопроводность

Часто задачи теплообмена в стволе скважины приходится решать в цилиндрической системе координат, для которой дифференциальное уравнение представляет собой следующее выражение:

где г — радиус-вектор; (р — полярный угол; z — аппликата.

Физический смысл дифференциального уравнения теплопроводности (уравнения Фурье) заключается в том, что им связывается пространственное распределение температуры с изменением его во времени. При этом, чем больше коэффициент температуропроводности, тем быстрее меняется во времени температура. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температуры во всех точках рассматриваемой системы будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как коэффициент температуропроводности у них велик .

От чего зависит показатель теплопроводности

Показатель теплопроводности зависит от нескольких факторов:

Температура.
Условия эксплуатации того или иного материала.
Влажность. Высокий уровень влажности провоцирует вытеснение сухого воздуха капельками жидкости из пор, из-за чего значение увеличивается многократно.
Агрегатное состояние вещества. Самой высокой теплопроводностью обладают твердые тела, самой низкой — газы (в частности, вакуум).
Структура, пористость (поры говорят о неоднородности структуры: когда через них проходит тепло, охлаждение будет минимальным); плотность вещества (большая плотность способствует более активному взаимодействию частиц, теплообмен и уравновешивание температур протекает быстрее).

Уравнение теплопроводности

Интегральное уравнение (5.33)

выражающее закон сохранения энергии в процессе переноса тепла, можно преобразовать при помощи теоремы Остроградского — Гаусса в дифференциальное уравнение

Как видно из этого уравнения, скорость изменения температуры определяется дивергенцией div q вектора плотности потока тепла. Если она равна нулю, то температура со временем не изменяется. Однако температура может изменяться от одной точки пространства к другой. В таком случае распределение температуры называется стационарным.

В общем случае, когда температур распределена в пространстве произвольным образом, закон Фурье выражает формула

Подстановка выражения (5.54) в равенство (5.53) приводит к уравнению

В том случае, когда можно пренебречь зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры, будем иметь уравнение

где Д — оператор Лапласа. Это уравнение называется уравнением теплопроводности. Нетрудно видеть, что это уравнение но форме в точности совпадает с уравнением диффузии (5.46). Уравнение теплопроводности (5.55) справедливо не только для газов, но и для жидких и твердых тел.

Уравнения диффузии и теплопроводности суть уравнения в частных производных и их решение в общем случае является очень сложной задачей. Но стационарные распределения температуры могут быть найдены сравнительно просто ь тех случаях, когда исследуемая система обладает каким-либо типом симметрии. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пространство между двумя плоскостями заполнено веществом, для которого коэффициент теплопроводности к не зависит от температуры. Направим ось х перпендикулярно к этим плоскостям, а начало отсчета поместим на одной из них. Тогда уравнения плоскостей будут иметь вид х = 0 и х = Т₂ (рис. 5.14).

Рис. 5.Ц.

Зависимость Т = Т(г) температуры от расстояния при условии Q > О

Понятие теплопроводности в физике

Перенос теплоты осуществляется 3 способами:

Конвекция.
Излучение.
Теплопроводность.

Совершая непрерывные хаотические движения, молекулы, атомы, электроны и другие микрочастицы, из которых состоят тела, сталкиваются друг с другом. При этом частицы, обладающие большей энергией, частично передают ее частицам с меньшей энергией.

Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния.

По отдельности в реальном мире виды переноса теплоты практически не встречаются. Чаще всего происходит совместный перенос.

Условная схема теплообмена:

Закон Фурье – основной закон теплопроводности.

В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры:

где Q – тепловой поток, выражается в Вт;

grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;

S – площадь поверхности теплообмена, м 2 ;

Градиент температуры получится характеризовать в виде векторной суммы составляющих по осям декартовых координат:

где i, j, k – ортогональные между собой единичные векторы, нацеленные по координатным осям.

Значит, данный закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности.

Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид:

Знак « минус» обозначает, что векторы теплового потока и градиента температуры разнонаправленные. Следует понимать, что теплота передается в направлении спада температуры.

И все же не лишним будет указать, что закон Фурье не принимает в расчет инерционность процесса теплопроводности, иначе говоря, в представленной модели колебание температуры в любой точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье некорректно применять для характеристики высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.

Как рассчитать теплопроводность по закону Фурье

В установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

Где:

q — вектор плотности теплового потока — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси;
x — коэффициент теплопроводности (удельная теплопроводность);
T — температура.

Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad T (то есть в сторону скорейшего убывания температуры).

В интегральной форме:

Где:

P — полная мощность тепловой передачи;
S — площадь сечения параллелепипеда;
ΔT — перепад температур граней;
l — длина параллелепипеда, то есть расстояние между гранями.

Пример закона теплопроводности Фурье

Есть много примеров закона теплопроводности в повседневной жизни. Некоторые примеры обсуждаются ниже.

В кружке горячий кофе. Теперь вы знаете, что тепло будет передаваться с горячей стороны на холодную. Здесь передача тепла происходит от внутренней стенки к внешней стенке кружки. Это кондуктивный перенос тепла, основанный на законе теплопроводности Фурье.

В качестве примера можно рассмотреть стену нашего дома.

Если в стержне происходит внутреннее тепловыделение, тепло будет течь во внутренней части к внешним поверхностям.

Можно потрогать любое электрическое и электронное оборудование. Вы получите немного тепла. Все эти устройства могут быть примером закона Фурье.

Эксперимент с законом Фурье

Перенос тепла проводимостью происходит за счет микроскопической диффузии и столкновений молекул или квазичастиц внутри объекта из-за разницы температур. Если мы видим микроскопически, то диффузный и сталкивающийся любой материал включает в себя молекулы, электроны, атомы.

Обычно у металлов есть свободная подвижность электронов внутри объекта. Это причина его хорошей проводимости.

Рассмотрим двухблочный A и B,

Блок А очень горячий

Блок Б холодный

Предположим, мы соединяем эти два блока и изолируем все остальные внешние поверхности. Изоляция предназначена для уменьшения потерь тепла от блока. Вы можете быстро понять, что тепловая энергия будет перетекать от горячего блока к холодному. Передача тепла будет продолжаться до тех пор, пока оба блока не достигнут одинаковой температуры (температурного равновесия).

Это один из способов передачи тепла в обоих блоках. Это кондуктивный режим теплопередачи. Используя уравнение закона теплопроводности, мы можем рассчитать теплопередачу с помощью этого эксперимента

Выполнение в лаборатории теплопередачи (машиностроение и химическая инженерия) очень информативно и важно с практической точки зрения

Коэффициент теплопроводности материала

Для количественной оценки теплопроводности существует коэффициент теплопроводности материалов.

Коэффициент теплопроводности обозначается λ и измеряется в Вт/(м²*К). Данная величина показывает, какое количество тепла проходит за 1 ч через 1 м² материала толщиной 1 м при разности температур в 1 градус. Например, значение коэффициента теплопроводности стали — 52 Вт/(м²*К). Это означает, что за 1 ч через 1 м² стали толщиной 1 м при разности температур в 1° пройдет 52 Вт тепловой энергии.

Формула нахождения коэффициента теплопроводности выражается следующим уравнением:

λ=(Q/t)*(d/SΔT), где

λ — коэффициент теплопроводности,

Q — количество тепла, протекающего через тело,

t — время,

d — толщина перегородки,

S — площадь поперечного сечения,

ΔT — разность температур.

Из данной формулы можно вывести количество тепла: Q=λ(SΔTt/d).

Таблица сравнения коэффициентов теплопроводности различных материалов.

Например, посмотрите, насколько отличаются значения плотного металла алюминия и пористой минеральной ваты.

Применение показателя теплопроводности на практике

Тепловая энергия широко используется в технике и в быту. Все способы ее применения можно разделить на два способа:

энергетический (для преобразования тепла в механическую работу);
технологический (для направленного изменения свойств различных тел).

Процессы преобразования теплоты в работу изучаются в технической термодинамике, а процессы непосредственного использования — в теплопередаче.

Правильная организация рабочих процессов в теплоэнергетике, в химической, пищевой промышленности, в технике холода, в металлургии, в строительной индустрии, электротехнике невозможна без знания законов теплопередачи и учета показателей теплопроводности в различных элементах машин и аппаратов, химической и других отраслей промышленности.

Теория теплообмена широко применяется на практике. Например, в строительстве важны значения теплопроводности различных утеплителей (минеральная вата, пенополистирол и т.д.).