Лекция 7. поверхности

Конус в геометрии

Предположим, что имеется некоторая кривая на плоскости. Это может быть парабола, окружность, эллипс и так далее. Возьмем точку, которая указанной плоскости не принадлежит, и соединим с ней все точки кривой. Образованная поверхность называется конической или просто конусом.

Если исходная кривая является замкнутой, тогда коническую поверхность можно заполнить веществом. Полученная таким образом фигура является объемным телом. Она также называется конусом. Несколько конусов, изготовленных из бумаги, показаны ниже на рисунке.

Коническая поверхность встречается в обычной жизни

Например, этой формой обладает мороженое-рожок или дорожный полосатый конус, который призван привлечь внимание водителей и пешеходов

Симметрия шара

   Теорема. Центр шара является его центром симметрии, а любая диаметральная плоскость является его плоскостью симметрии.

   Доказательство.
Пусть α — диаметральна плосксоть шара, а Y его произвольная точка (Рис.6). Построим точку Y’, симметричную точке Y относительно плоскости α. Так как отрезок YY’ перпендикулярен плоскости α и делится этой плоскостью пополам точкой пересечения А, то треугольники OYA и OY’A равны по двум сторонам и углу между ними, т.е. OY=OY’. Отрезки OY и OY’ принадлежат шару, так как OY = OY’ ≤ R.

   Отложим отрезок OY» симметрично относительно центра шара точки О. Тогда OY = OY» ≤ R.
Т.е. точка Y» также принадлежит шару. Следовательно точка О является точкой симметрии шара, а диаметральная плоскость — плоскостью симметрии.

Сечение призмы плоскостью

Фигура сечения прямой пятиугольной приз­мы фронтально -проецирующей плоскостью Р (рис. 178, а) представляет собой плоский пяти­угольник 12345.

Для построения проекций фигуры сечения на­ходят проекции точек пересечения плоскости Р с ребрами призмы и соединяют их прямыми линия­ми. Фронтальные проекции этих точек получают­ся при пересечении фронтальных проекций ребер призмы с фронтальным следом P_Vсекущей плос­кости Р (точки 1’…5′).

Горизонтальные проекции точек пересечения 1…5 совпадают с горизонтальными проекциями ребер. Имея две проекции этих точек, с помощью линий связи находят профильные проекции 1»…5». Полученные точки 1»…5» соединяют пря­мыми линиями и получают профильную проекцию фигуры сечения.

Действительный вид фигуры сечения можно определить любым из способов: вращения, совме­щения или перемены плоскостей проекций (см. гл. 15).

В данном примере (рис. 178, а) применен способ перемены плоскостей проекций. Гори­зонтальная плоскость проекций заменена но­вой Н₁, причем ось х₁ (для упрощения по­строений) совпадает с фронтальным следом плоскости Р.

Для нахождения новой горизонтальной проек­ции какой-либо точки фигуры сечения (например, точки 1) необходимо выполнить следующие по­строения. Из точки 1’ восставляют перпендику­ляр к новой оси х₁ и откладывают на нем расстоя­ние от прежней оси х до прежней горизонтальней проекции точки 1, т.е. отрезок п. В результате получают точку 1₍₎. Так же находят и новые гори­зонтальные проекции точек 2…5. Соединив пря­мыми линиями новые горизонтальные проекции 1_()….5_о , получают действительный вил фигуры се­чения.

Разверткой называется плоская фигура, полу­ченная при совмещении поверхности геометричес­кого тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Развертку боковой поверхности (рис. 178, б) с основанием и фигурой сечения призмы строят следующим образом. Проводят прямую, на кото­рой откладывают пять отрезков, равных длинам сторон пятиугольника, лежащего в основании призмы. Из полученных точек проводят перпен­дикуляры, на которых откладывают действитель­ные длины ребер усеченной призмы, беря их с фронтальной или профильной проекции (рис. 178, а), получают развертку боковой повер­хности призмы.

К развертке боковой поверхности пристраивают фигуру нижнего основания — пятиугольник и фигуру сечения. При этом используют метод три­ангуляции (см. рис. 50, б) или метод координат, известный из геометрического черчения. На рис. 178, а показано построение вершины 5 метолом триангуляции. Линии сгиба по ГОСТ 2.303-68 показывают на развертке штрихпунктирной линией с двумя точками.

Для наглядности выполним построение усечен­ного тела в аксонометрической проекции. На рис. 178, в построена изометрическая проекция усеченной призмы. Порядок построения изометри­ческой проекции следующий. Строят изометричес­кую проекцию основания призмы; проводят в вертикальном направлении линии ребер, на кото­рых от основания откладывают их действительные длины, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы. Полученные точки сое­диняют прямыми линиями.

Рис. 178

Круговой конус

При все сечения конуса плоскостями становятся окружностями. Такой конус является фигурой вращения и называется прямым круговым конусом . Он может быть получен в результате вращения, например, прямой (образующей) вокруг оси аппликат (рис.4.44,б).

1. Конус является линейчатой поверхностью, поскольку может быть получен при помощи перемещения прямой.

2. Конус, образованный асимптотами гипербол, получающихся при пересечении гиперболоида плоскостями, проходящими через ось , называется асимптотическим конусом этого гиперболоида. На рис.4.44,в изображен асимптотический конус для однополостного и двуполостного гиперболоидов.

3. Конус (4.50) может быть получен из прямого кругового конуса (у которого ) в результате двух сжатий (растяжений) к координатным плоскостям и .

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии конуса, координатные оси — осями симметрии конуса, координатные плоскости — плоскостями симметрии конуса.

В самом деле, если точка принадлежит конусу, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат конусу, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.50).

5. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину, например, плоскостями , где — произвольная постоянная (параметр) — угловой коэффициент прямой в плоскости . Заметим, что образующие рассматриваемого конуса в плоскости описываются уравнением с угловым коэффициентом . Подставляя в уравнение конуса, получаем

Это уравнение проекции на координатную плоскость линии пересечения плоскости с конусом. Вычисляем инварианты

\tau\cdot\Delta=k^2-2 . По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое пересекает все образующие прямого кругового конуса, является эллипсом. При 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAwAFBgwIcMaGw61tx0C5PF/kAAADbSURBVCjPY2DAD45D6Sasss4MDI7CQFoUXYIdIstq+ByLbHifAkQv4yJMWeaF66CyehNgsiUJcGklOais3QGYLLMEXJoJJutXkCEONZlZwgBNlklKffYSmL3sjQZosi9LWF7DXRXWuAlFlvltA1sBws1svRuQZVlerkxA8hGbL4os46KsCQhZti5Uk/Um8AqchsmyobvK7oDWhGkwH000gpqhcE8JLHuugGflBlhoFMBC8t27dw4gWTYGhjSovRVIIakE0QsEoTBXBWDGLxiI4op9PLLuUHoSFjkA6I4yBZZKaW0AAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> имеем . По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно двум образующим кругового конуса, является гиперболой. При имеем . По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно одной образующей кругового конуса, является параболой. Поскольку при аффинных преобразованиях тип линий не изменяется, такой же вывод можно сделать для произвольного конуса (4.50):

– сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие, является эллипсом (рис.4.45,а);

– сечение конуса плоскостью, параллельной двум его образующим, является гиперболой (рис.4.45,б);

– сечение конуса плоскостью, параллельной одной его образующей, является параболой (рис.4.45,в).

6. Конические сечения могут быть взяты в качестве эквивалентных определений эллипса, гиперболы, параболы.

Сечения, содержащие вершину конуса

Теперь рассмотрим варианты сечений, которые возникают, если секущая плоскость будет проходить через вершину конуса. Возможны три случая:

1. Сечение — единственная точка. Например, проходящая через вершину и параллельная основанию плоскость дает именно такое сечение.
2. Сечение — прямая. Эта ситуация возникает, когда плоскость является касательной к конической поверхности. Прямая сечения в этом случае будет образующей конуса.
3. Осевое сечение. Оно образуется, когда плоскость содержит не только вершину фигуры, но и всю ее ось. При этом плоскость будет перпендикулярна круглому основанию и разделит конус на две равные части.

Очевидно, что площади первых двух видов сечений равны нулю. Что касается площади сечения конуса для 3-го вида, то этот вопрос подробнее рассматривается в следующем пункте.

Упражнение

Заданы: сфера и  прямая общего положения АВ.

Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).

Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность сферы так, чтобы получались простые фигуры (например, круг, ограниченный окружностью);
2. Построить фигуру пересечения сферы вспомогательной плоскостью;
3. Найти общие точки прямой и контура фигуры (окружность): так как прямая и окружность лежат в одной плоскости, то они, пересекаясь, образуют точки, общие для прямой и сферы, которые и будут являться искомыми точками (Рисунок 7.12).

Решение

Через прямую проводим плоскость σ. Пусть σ⊥π1 и пересекает сферу по окружности радиусом r. С – центр окружности сечения ОС⊥σ:

Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы

• Введём π₃⊥π₁ и π₃//σ₁. Построим проекцию окружности сечения на π₃ и проекцию А₃В₃.
• Находим точки их пересечения 1₂ и 2₃.
• Определим видимость участков прямой.
• На π₁ точки 1 и 2 находятся на переднем полушарии, следовательно, на π₂ они видимы.

Сечение цилиндра плоскостью

Построение сечения прямого кругового цилин­дра аналогично построению сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматри­вать как прямую призму с бесчисленным множес­твом ребер — образующих цилиндра (рис. 179, а).

Выполнение чертежа начинают с построения трех проекций прямого кругового цилиндра. На поверхности цилиндра проводят несколько равно­мерно расположенных образующих, в данном примере двенадцать. Для этого горизонтальную проекцию основания делят па 12 равных частей. С помощью линий связи проводят фронтальные проекции образующих цилиндра (рис. 179, а).

Из комплексного чертежа видно, что плоскость Р пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под углом к оси цилин­дра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса (рис. 179, в).

Фронтальная проекция фигуры сечения совпа­дает с фронтальным сладом Р_V плоскости Р. Гори­зонтальная проекция этой фигуры совпадает с горизонтальной проекцией основания цилиндра.

Профильная проекция фигуры сечения пред­ставляет собой проекцию части эллипса и может быть построена по нескольким точкам, которые строятся с помощью линий связи по горизонталь­ной и фронтальной проекциям фигуры сечения. Полученные таким образом профильные проекции точек фигуры сечения соединяют кривой по лекалу.

Действительный вид фигуры сечения получен на рис. 179, а способом перемены плоскостей про­екций. Горизонтальная плоскость проекций заме­нена новой. Новая ось проекций x₁ может быть проведена параллельно следу Р_V на произвольном расстоянии, но для упрощения построений она выполнена совпадающей с Р_V (аналогично рис 178). От оси x₁ откладывают отрезки 5’5 = 55_x, 4’4 = 44_x, т.е. отрезки т, п и т.д., так как расстояние от новой проекции этой точки до но­вой оси проекций равно расстоянию от прежней проекции этой точки до прежней оси проекции.

Развертка боковой поверхности усеченного цилиндра с основанием и фигурой сечения пока­зана на рис. 179, б.

Для построения развертки боковой поверхности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания, равную πD и делят ее на 12 равных частей. Из точек деления восставляют перпендикуляры к отрезку πD, на них откладыва­ют действительные длины образующих цилиндра от основания до секущей плоскости Р, которые взяты с фронтальной или профильной проекции цилиндра. Полученные точки 1₁—9₁ соединяют по лекалу плавной кривой. Затем фигуру сечения соединяют с частью верхнего основания цилиндра, ограниченного хордой l₁9₁ (сегмент), а фигуру нижнего основания цилиндра (окружность) соеди­няют с нижней частью развертки.

Изометрическую проекцию усеченного цилин­дра строят следующим образом (рис. 179, в). Сна­чала строят изометрию нижнего основания (овал) и части верхнего основания — сегмента (часть овала). На диаметре окружности нижнего основа­ния от центра О’ откладывают отрезки а, b и т.д., взятые с горизонтальной проекции основания. Затем из намеченных точек проводят прямые, параллельные оси цилиндра до пересечения с осью эллипса.

Через полученные точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрез­ки, взятые с действительного вида сечения. Полу­ченные точки соединяют но лекалу. Заканчивают построение проведением очерковых образующих, касательных к основаниям — овалам.

Пылесборник машины для очистки литых дета­лей (рис. 179, г) представляет собой усеченный цилиндр. Форма крышки А трубы пылесборника является фигурой сечения прямого кругового ци­линдра и представляет собой эллипс.

Рис. 179

7.8. Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).

Тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью вершиной и плоскостью, называется конусом.

Плоская фигура, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса.

Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса.

Если основание конуса является кругом, то конус называется круговым.

Если вершина конуса расположена на перпендикуляре к основанию, восстановленному из его центра, то конус называется прямым круговым.

Перемещая точку A» — можно изменять диаметр основания конуса;
перемещая точку O’ — можно менять положение точки на поверхности конуса.

Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности

Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).

1 способ. Для построения ортогональных проекций точки, расположенной на поверхности конуса,  построим проекции образующей, проходящей через данную точку. При таком положении точки А все её проекции – видимы.

2 способ. Точка А лежит на параллели конуса радиусом r. На π₁ строим проекцию окружности (параллели) и по линии проекционной связи находим А₁. По двум проекциям точки строим третью.

Плоские сечения конуса

Сечения конуса координатными плоскостями представляют собой пары пересекающихся прямых, удовлетворяющих в этих плоскостях уравнениям (при ) или (при ) соответственно.

Рассмотрим теперь сечение конуса плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.50), получаем

При этому уравнению удовлетворяет одна вещественная точка — начало координат. При любом отличном от нуля значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение конуса плоскостью представляет с собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям и .

Таким образом, конус можно представить как поверхность, образованную эллипсами, центры которых лежат на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям и (см. рис.4.44,а).

Сечения конуса плоскостью, которая не содержит вершину фигуры

Вопрос построения сечений фигуры не является тривиальным. Дело в том, что форма сечения конуса поверхностью зависит от взаимного расположения фигуры и секущей.

Предположим, что мы пересекаем конус плоскостью. Какое сечение получится в результате этой геометрической операции? Варианты формы сечения показаны на рисунке ниже.

Розовое сечение является кругом. Оно образовано в результате пересечения фигуры плоскостью, которая параллельна основанию конуса. Это сечения перпендикулярно оси фигуры. Образованная выше секущей плоскости фигура представляет собой конус, подобный исходному, но имеющий круг меньшего размера в основании.

Зеленое сечение — это эллипс. Он получается, если секущая плоскость не параллельна основанию, однако она пересекает только боковую поверхность конуса. Отсеченная выше плоскости фигура называется эллиптическим наклонным конусом.

Синее и оранжевое сечения имеют форму параболы и гиперболы, соответственно. Как видно из рисунка, они получаются, если секущая плоскость одновременно пересекает боковую поверхность и основание фигуры.

Для определения площадей сечений конуса, которые были рассмотрены, необходимо использовать формулы для соответствующей фигуры на плоскости. Например, для круга это умноженное на квадрат радиуса число Пи, а для эллипса — это произведение Пи на длину малой и большой полуосей:

круг: S = pi*r2;

эллипс: S = pi*a*b .

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

1. Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
2. Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
3. Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

1. Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
2. Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π₁ произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
3. Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π₃. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ₁ и откладываем его по соответствующей линии связи на π₃. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра.

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным.

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра  и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π₁ сплошной зелёной  линией – на плоскости проекции π₂ видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π₃.

Пусть точка А на π₂ видима (Рисунок 7.7). Тогда на π₁ она будет видима, а на π₃ невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

Задача на определение линейных параметров конуса

Покажем, как пользоваться записанной для площади осевого сечения формулой для решения геометрической задачи.

Известно, что площадь осевого сечения конуса равна 100 см2. Полученный в сечение треугольник является равносторонним. Чему равны высота конуса и радиус его основания?

Поскольку треугольник равносторонний, то его высота h связана с длиной стороны a следующим соотношением:

h = √3/2*a.

Учитывая, что сторона треугольника в два раза больше радиуса основания конуса, и подставляя это выражение в формулу для площади сечения, получаем:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Тогда высота конуса равна:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Остается подставить значение площади из условия задачи и получить ответ:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 см;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 см.

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π₂ (Рисунок 7.16).

Рисунок 7.16

1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π₂ (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π₂ и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π₁. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π₁ и π₃ совпадают с линиями проекционной связи.
3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π₁ строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.