Уравнение связи потенциальной силы с потенциальной энергией

2.3.2. Энергия

1. Наиболее общим определением понятия энергии можно считать то, которое связано с понятием состояния системы (или тела). Энергия всегда является функцией состояния системы (тела). В любом состоянии система имеет определенное значение энергии и может сохранять это состояние, а значит и энергию этого состояния, сколь угодно долго. Для перехода системы (тела) в другое состояние должна быть совершена работа.

Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершить работу, называется энергией.

Состояние системы (тела) может меняться в процессе движений. Формы движений в природе различны. Для количественного сравнения разных форм движений и служит понятие энергии. Поэтому можно дать другое определение для энергии.

Энергией называется физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи.

Различают виды энергии механическую, внутреннюю, электромагнитную, химическую, ядерную и т.д.

Механическая энергия может быть обусловлена или движением тела с некоторой скоростью (кинетическая энергия), или расположением данного тела в системе других тел определенной конфигурации (потенциальная энергия) W_мех. = W_кин. + W_пот..

Как определить значение потенциальной энергии

Потенциальная энергия является энергией взаимодействия тел системы или разных частей одного тела и определяется их взаимным положением. В связи с тем, что тела взаимодействуют с Землей, они обладают потенциальной энергией взаимодействия с Землей.

В том случае, когда тело с массой m падает с высоты  до высоты , работа силы тяжести ​ на отрезке ​ равна: ​

В записанном уравнении  является характеристикой начального положения (состояния) тела, а  — конечного положения (состояния) тела. Величина  представляет собой потенциальную энергию тела в начальном состоянии; величина  является потенциальной энергией тела в конечном состоянии. Таким образом:

Из представленных уравнений можно сделать вывод о равенстве работы силы тяжести изменению потенциальной энергии тела. Знак «–» говорит об уменьшении величины потенциальной энергии в процессе движения тела вниз и соответственно при совершении силой тяжести положительной работы. В том случае, когда тело движется вверх, работа силы тяжести имеет отрицательное значение, а потенциальная энергия тела увеличивается. При нахождении тела на какой-то высоте ​h​ по отношению к поверхности Земли, его потенциальная энергия, характерная для данного состояния, определяется, как:

Величина потенциальной энергии зависит от уровня, относительно которого она отсчитывается. Уровень, на котором потенциальная энергия обладает нулевым значением, называют нулевым. Потенциальной энергией обладают тела в состоянии покоя, что отличает ее от кинетической энергии. В связи с тем, что потенциальная энергия является энергией взаимодействия, данную характеристику относят не к одному телу, а к системе тел, которые взаимодействуют между собой. В данном случае в состав системы входят Земля и поднятое над ней тело.

Запас потенциальной энергии характерен для упруго деформированных тел. Допустим, что имеется некая пружина, левый край которой зафиксирован, а к правому концу пружины прикрепили груз. При сжатии пружины правый конец смещается на . В пружине можно наблюдать возникновение силы упругости, которая направлена в правую сторону . Если отпустить пружину, ее правый конец изменит положение, а удлинение пружины составит . При этом сила упругости примет значение .

Таким образом, работа силы упругости определяется, как изменение потенциальной энергии пружины. Можно записать следующее равенство:

Знак «–» в данном случае обозначает отрицательную работу, которую совершает сила упругости в процессе растяжения и сжатия пружины. Значение потенциальной энергии пружины возрастает. Если пружина движется к положению равновесия, силой упругости совершается положительная работа, а потенциальная энергия при этом будет уменьшаться. В том случае, когда пружина деформирована, и ее витки смещены по отношению к равновесному положению на расстояние x, потенциальная энергия пружины рассчитывается, как:

2.3.4. Потенциальная энергия

1. Потенциальная энергия — энергия, определяемая взаимным расположением тел или отдельных частей тела относительно друг друга.

Когда меняется конфигурация системы тел или частиц одного тела относительно друг друга, должна совершаться работа.

Пространство, в каждой точке которого на тело действует определенная сила, называется физическим или силовым полем.

Поэтому когда тело перемещается вблизи Земли, то говорят, что тело двигается в силовом поле тяготения Земли или в потенциальном поле Земли. Потенциальная энергия тяготения равна (W_пот)_тяг. = mgh,

h — расстояние между телом и Землей.

В растянутой (или сжатой) пружине на каждую ее точку действует сила упругости, в этом случае можно говорить о потенциальном поле упругости. Потенциальная энергия упругости равна ( W_пот) _упр. = ( kl2)/2, l — длина растянутой пружины, отсчет х от положения равновесия.

При делении сил, действующих на тело, на внешние и внутренние рассмотренные в примерах сила тяготения (в системе «тело — Земля») и сила упругости растянутой (сжатой) пружины можно отнести к внутренним силам. Поэтому верно утверждение, что каждой конфигурации произвольной системы частиц присуща своя собственная потенциальная энергия, и работа всех внутренних потенциальных сил, приводящая к изменению этой конфигурации, равна взятому со знаком минус приращению ( убыли) потенциальной энергии системы.

2.3.6. Сравнение кинематических и динамических характеристик поступательного и вращательного движений

Воспользуемся аналогией записи кинематических и динамических характеристик, законов поступательного и вращательного движений(см. таблицу 3).

Таблица 3. Сравнение кинематических и динамических характеристик поступательного и вращательного движений.

2.3.7. Применение законов сохранения в теории ударов тел

Ударом называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени при их столкновении.

Поведение соударяющихся тел можно рассчитать с помощью законов сохранения. Потенциальная энергия взаимодействующих тел не учитывается.

Абсолютно неупругий удар — удар, в результате которого тела после столкновения двигаются с одинаковыми скоростями. Поведение тел при таких ударах может быть описано моделью, называемой абсолютно неупругое тело.

Рассмотрим центральный неупругий удар двух шаров массой m₁ и m₂. Скорости шаров лежат на одной линии, соединяющей их центры: v₁ и v₂ — скорости шаров до удара, v — общая скорость шаров после удара. ЗСИ в векторной форме имеет вид:

m₁∙ v₁ + m₂∙ v₂ = ( m₁ + m₂)∙ v

Если v₁ и v₂ имеют одинаковые направления, то ЗСИ примет вид:

m₁∙ v₁ + m₂∙ v₂ = ( m₁ + m₂)∙v.

Если шары двигаются навстречу друг другу, тогда

m₁∙ v₁ — m₂∙ v₂ = ( m₁ + m₂)∙v

Закон сохранения механической энергии при таком ударе не выполняется, но с учетом энергии, затраченной на деформацию тел, общий закон сохранения энергии имеет вид:

Абсолютно упругий удар — такое кратковременное взаимодействие тел, при котором в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций. Поэтому кинетическая энергия, которой тела обладали до взаимодействия, превращается в кинетическую энергию тех же тел после взаимодействия.

Поведение тел при таких ударах может быть описано моделью, называемой абсолютно упругое тело.

Рассмотрим центральный упругий удар двух шаров массой m₁ и m₂. Скорости шаров лежат на одной линии, соединяющей их центры: v₁ и v₂ — скорости шаров до удара, u₁ и u₂ — скорости шаров после удара.

(ЗСИ) m₁∙ v₁ + m₂∙ v₂ = m₁∙ u₁ + m₂∙ u₂

( ЗСЭ_мех)

В ЗСИ надо учитывать направления скоростей до удара. Значения и направления скоростей после удара получаются при решении приведенной выше системы двух уравнений.

По какой формуле вычисляется кинетическая энергия

Тела, которые перемещаются, так же могут совершить работу. К примеру, движущийся поршень сжимает расположенный в цилиндре газ, снаряд при движении пробивает мишень. Таким образом, у движущихся тел есть запас энергии, которую называют кинетической. Данная величина  определяется массой тела и его скоростью:

Записанное равенство является следствием из преобразования следующих формул:

1. Работа A = FS
2. Сила F = ma.

Путем подстановки выражения силы в уравнение работы получим:

A = maS

Известно, что:

Таким образом:

где  — кинетическая энергия, характерная для тела в первом состоянии,

 — кинетическая энергия, характерная для тела во втором состоянии.

Теорема о кинетической энергии справедлива независимо от характера сил, оказывающих воздействие на тело. Как правило, различают кинетическую силу поступательного и вращательного движения. Являясь физической величиной, представляющей собой функцию скорости, кинетическая энергия определяется следующими факторами:

• внутренняя природа рассматриваемого объекта;
• отношения между объектом и наблюдателем (в физике наблюдатель формально определяется инерциальной системой отсчета).

Кинетическая энергия деградирует и сохраняется в каждой трансформации. При этом утрачивается ее способность совершать новые трансформации. Однако кинетическую энергию нельзя создать или разрушить. Она может быть только трансформирована, поэтому ее сумма во вселенной всегда является постоянной величиной. Кинетическая энергия частицы или твердого тела уменьшается до нулевого значения, когда данные объекты не вращаются и останавливаются. С другой стороны, системы, содержащие множества частиц, движущихся независимо, не совсем верно рассматривать по такому принципу. Для твердого вращающегося тела, полная кинетическая сила может быть разбита на две суммы:

• энергия перемещения, которая связана со смещением центра масс тела в пространстве;
• энергия вращения (с вращательным движением с определенной угловой скоростью).