Звук
Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.
Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:
- наличие источника звука;
- наличие упругой среды между источником и приемником звука;
- наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
- мощность звука должна быть достаточной для восприятия.
Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.
Классификация звуковых волн:
- инфразвук (\( \nu \) < 16 Гц);
- звуковой диапазон (16 Гц < \( \nu \) < 20 000 Гц);
- ультразвук (\( \nu \) > 20 000 Гц).
Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.
Скорость звука зависит
от упругих свойств среды:
в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;
от температуры среды:
в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.
Характеристики звуковой волны
- Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
- Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
- Тембр – это окраска звука.
Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.Шум – хаотическая смесь тонов.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
- сама колебательная система
- источник энергии
- устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
1.3. Свободные гармонические колебания в LC-контуре
1. Электромагнитный контур состоит из плоского конденсатора емкостью С и катушки индуктивности (соленоида) с индуктивностью L. Такой контур называется идеальным контуром с распределенными параметрами. Конденсатор зарядили, на одной пластине заряд +q, на другой (–q). Рассмотрим процессы в LC – контуре за время T, называемое периодом колебаний.
Момент времени t = 0. Конденсатор заряжен, ключ «К» разомкнут, ток в контуре не идет: I = 0, ,
Ключ замкнут, по цепи идет ток разрядки до тех пор, пока не выровняются потенциалы обкладок конденсатора. При
Когда конденсатор разрядится, ток разрядки прекратится. Магнитное поле в катушке индуктивности, не поддерживаемое током, начнет уменьшаться. Уменьшение магнитного поля вызовет уменьшение магнитного потока сквозь площадь катушки, возникнет ЭДС индукции. По цепи контура пойдет индукционный ток того же направления, что и ток разрядки (правило Ленца). Это приведет к перезарядке конденсатора. При
Направление тока разрядки в контуре изменится. Ток разрядки будет идти по цепи до выравнивания потенциалов на обкладках конденсатора.
При
При t = T система вернется в исходное положение.
В рассмотренном LC – контуре происходит превращение энергии из одного вида в другой и обратно, полная энергия контура — величина постоянная .
Периодические изменения вектора напряженности Е электрического поля и вектора магнитной индукции В магнитного поля в закрытом колебательном LC – контуре называется электромагнитными колебаниями.
2. Используем 2-й закон Кирхгофа для получения дифференциального уравнения электромагнитных колебаний.
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма падений напряжений на всех его участках равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (2-ой закон Кирхгофа).
Падение напряжения на обкладках конденсатора в LC – контуре равно
где q – величина заряда на обкладках, С – емкость конденсатора. ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, определяется формулой: (закон Фарадея для самоиндукции).
Второй закон Кирхгофа для LC – контура имеет вид:
или .
По определению сила тока равна первой производной по времени от заряда , тогда .
Преобразуем уравнение 2-ого закона Кирхгофа, получим
Обозначим , получим окончательно уравнение вида:
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решениями которого являются уравнения:
или .
И дифференциальное уравнение для электромагнитных колебаний, и его решения подобны тем, которые получены для механической системы (пружинного маятника).
Величины, входящие в уравнения электромагнитных колебаний, имеют следующий смысл:
q – амплитуда заряда – максимальный заряд конденсатора;
q – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;
– фаза колебаний – величина, определяющая заряд конденсатора в любой момент времени t;
α – начальная фаза определяет заряд конденсатора в начальный момент времени (t = 0).
Циклической частотой периодических колебаний в LC – контуре является величина .
Период колебаний равен (формула Томсона).
Определим зависимость силы тока, ЭДС и энергии колебаний от времени в LC – контуре. Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора возьмем в виде:
Сила тока в контуре определяется соотношением:
.
Величину называют амплитудой силы тока.
Уравнение для ЭДС имеет вид:
.
Величина – амплитуда ЭДС.
Электрическая и магнитная энергия изменяется согласно уравнениям:
Полная энергия колебаний в LC — контуре не зависит от времени (закон сохранения энергии).
Графики зависимостей от времени t физических величин, характеризующих электромагнитных колебаний в LC – контуре, аналогичны графикам для механических колебаний (см. Рисунок 1.2).
Если заряд на обкладках изменяется по закону , т.е. начальная фаза α = 0, то его график такой же как график смещения.
Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд конденсатора, только амплитуда напряжения будет другой .
Изменение силы тока аналогично изменению скорости тела при механических незатухающих колебаниях. Wэл. изменяется как Wпот., а Wмагн. — как Wкин..
Гармонические колебания и их характеристики
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНЖЕНЕНРНОЙ ЭКОЛОГИИ
Реферат по физике на тему:
«Гармонические колебания и их характеристики»
Выполнил:
студент группы К-11
Тарасов Алексей
Преподаватель:
доцент Маштакова В. А.
Москва 1998 г.
Гармонические
колебания и их характеристики.
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются
определенной повторяемостью во времени. Колебательные процесс широко
распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный
электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется
координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и
ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают
колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные
колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми
уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению
колебаний различной физической природы. Например ,единый подход к
изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским
физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским
инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в
развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.
Колебания называются свободными (или собственными), если они
совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем
отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую
колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания
— колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону
синуса (косинуса)
Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам
:
1. Колебания встречающиеся в природе и технике, часто
имеют характер, близкий к гармоническому;
2. Различные периодические процессы (процессы,
повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение
гармонических колебаний.
Гармонические колебания величины
s описываются
уравнением типа
s =A cos (w0 t +j) ,
(1)
где
n
А — максимальное значение колеблющейся
величины, называемое амплитудой колебания,
n
w0 — круговая
(циклическая) частота,
n
j —
начальная фаза колебания в
момент времени t=0,
n
(w0 t +j) — фаза колебания в момент времени t.
Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный
момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до —А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания,
повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания,
за который фаза колебания получает приращение равное 2p, т.е.
w0(t+T)+ j=(w0t+ j)+2p ,
откуда
T=2p/w0 (2)
Величина, обратная
периоду колебаний,
n=1/T (3)
т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется
частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим
w0=2p n.
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического
процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.
Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически
колеблющейся величины s:
(4)
(5)
Гармонические колебания
Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:
где \( x \) – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; \( A \) – амплитуда колебаний; \( \omega t+\varphi_0 \) – фаза колебаний; \( \omega \) – циклическая частота; \( \varphi_0 \) – начальная фаза.
Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.
Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.
Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:
где \( v \) – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.
Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:
где \( a \) – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.
Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:
где \( F \) – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.
Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:
где \( W_k \) – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.
Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:
- потенциальная энергия равна нулю;
- кинетическая энергия максимальна.
При максимальном отклонении от положения равновесия:
- кинетическая энергия равна нулю;
- потенциальная энергия максимальна.
Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:
Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы
Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.
Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
|
Формула периода колебания математического маятника T — период l — длина нити g — ускорение свободного падения [м/с2] На планете Земля g = 9,8 м/с2 π = 3,14 |
Подробное объяснение пружинного и математического маятника
Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:
Закон Гука: модуль силы упругости возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию)
где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.
Простейшая колебательная система может быть получена с использованием груза и пружины.
Прикрепим груз массой m, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, к невесомой упругой пружине жесткостью k, второй конец которой зафиксирован (рис. 181). Такая система называется пружинным маятником.
Запишем второй закон Ньютона для этой системы
В проекции на ось Ох с учетом закона Гука получаем или
Запишем это уравнение в форме, аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний
находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника
Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле
Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды, открытое Галилеем, называется изохронностью (от греческих слов — равный и — время).
Как видим, пружинный маятник обладает свойством изохронности, поскольку период его колебаний не зависит от амплитуды.
Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 182).
Галилео Галилей экспериментально установил, что период колебаний математического маятника в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения). Он установил также, что период колебаний прямо пропорционален
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:
При углах отклонения математического маятника погрешность формулы Гюйгенса не превышает 1 %.
Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом который нить образует с вертикалью.
Из второго закона Ньютона следует (см. рис. 182):
Смещение маятника вдоль дуги где угол выражен в радианах.
Возвращающей силой в данном случае является проекция на касательную к дуге силы тяжести (см. рис. 182), которая определяется по формуле
Заметим, что при малых углах длина дуги АВ = х = очень мало отличается от длины хорды так как при малых 
Для небольших углов (до 10°) значения различаются меньше чем на 1 %. Поэтому для таких углов равенство является очень хорошим приближением.
Используя полученное соотношение между координатой х и углом находим Подставляем его в выражение для проекции силы:
Таким образом, уравнение движения маятника запишется в виде 
Поскольку полученное уравнение совпадает с уравнением гармонических колебаний то можно сделать вывод, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Как видно из этой формулы, циклическая частота не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяется только его длиной и ускорением свободного падения.
В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» характеризующее результирующее действие этих полей, и период колебаний маятника будет определяться по формуле
Свободные колебания (математический и пружинный маятники)
Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.
Условия возникновения свободных колебаний:
- при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
- силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.
Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
Период колебаний математического маятника:
Частота колебаний математического маятника:
Циклическая частота колебаний математического маятника:
Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:
Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:
Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:
Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:
Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:
Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту \( h \), определяется по формуле:
где \( l \) – длина нити, \( \alpha \) – угол отклонения от вертикали.
Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.
Период колебаний пружинного маятника:
Частота колебаний пружинного маятника:
Циклическая частота колебаний пружинного маятника:
Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:
Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:
Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:
Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий
2.3. Свободные колебания. Математический маятник window.top.document.title = «2.3. Свободные колебания. Математический маятник»;
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
| Рисунок 2.3.1.Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге |
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а
Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Следовательно,
 |
|
Модель. Математический маятник |
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.
| Рисунок 2.3.2.Физический маятник |
Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний
см. §1.23
εIO
Здесь ω – собственная частота малых колебаний физического маятника.
Следовательно,
Более строгий вывод формул для ω и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Это уравнение свободных гармонических колебаний (). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:
Окончательно для круговой частоты ω свободных колебаний физического маятника получается выражение: