Топологические понятия электрических цепей
Те или иные соединения элементов R, L, С называются электрической цепью, а графическое изображение цепи — электрической схемой.
Электрическая схема показывает, как осуществляется соединение элементов рассматриваемой цепи. В электрической схеме соединения элементов образуют ветви, узлы, контуры.
Участок электрической цепи, по которому проходит ток одного и того же значения и направления, называется ветвью. Замкнутая электрическая цепь, образованная одной или несколькими ветвями, называется контуром, а место соединения трех или более ветвей — узлом. На схеме узел изображается точкой. Графическое изображение цепи называется электрической схемой.
Электрические цепи классифицируются: по роду тока (постоянный и переменный); по характеру элементов (линейные и нелинейные); по схемам соединения (простые и сложные); по изображению (монтажные, принципиальные и замещения).
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ДВУМЯ ИСТОЧНИКАМИ
Рассмотрим цепь, состоящую из двух источников ЭДС — e1 и e2, имеющих внутренние сопротивленияrв1 и rв2 и приемника электрической энергии, сопротивление которого равно R.
Силу тока в такой цепи можно определить по принципу наложения токов: сила тока в цепи равна алгебраической сумме сил токов, создаваемых в ней источниками питания, двумя или несколькими, действующими независимо друг от друга, если сопротивления всех участков цепи постоянны, т.е. не зависят от величины тока.
Если мысленно убрать вторую ЭДС, оставив ее внутреннее сопротивление, то при действии только первой ЭДС сила тока в цепи равна: I1 = e1/(R + rв1 + rв2 )
Причем, направление этого тока в первой источнике совпадает с направлением e1, которая направлена от минуса к плюсу.
Если теперь мысленно убрать первую ЭДС, оставив ее внутреннее сопротивление, то при действии только второй ЭДС сила тока в цепи равна: I2 = e2/(R + rв1 + rв2 )
Направление этого тока во втором источнике совпадает с направлением e2.
Т.к. e1 и e2 в контуре направлены навстречу друг другу, то действительная сила тока в цепи равна разности сил токов I1 и I2I = I1 – I2 = (e1 — e2 )/(R + rв1 + rв2 )
Если e1 = e2 , тоI = 0 Þ ток в цепи возникает только в случае e1 ¹e2. Направление общего токаIсовпадает с направлением большей ЭДС.
ЭДС, направленная встречно току, называется встречной или противо-ЭДС.
На участке ВС с сопротивлением rв2 действует встречнаяe2. На этом участке кроме тепловой мощности I2rв2 развивается еще и электрическая мощностьe2I, т.к. электрическими силами совершается работа по преодолению действия встречной ЭДС.Таким образом, источник с противо-ЭДС работает в режиме потребителя (приемника).
Развиваемая на участке ВС мощность равна: РВС = I2rв2 + e2I, а напряжение на нем:
UВС= РВС/I = I2rв2 + e2.
Еслидве ЭДС включены встречно, то общая ЭДС в цепи будет равна: e= e1 — e2
Итак, напряжение на зажимах источника, работающего в режиме потребителя, равно сумме ЭДС и внутреннего падения напряжения.
На участке АВ с сопротивлением rв1 действует ЭДСe1, одного направления с током. Электрическая машина или аккумулятор с e1 работает в режиме генератора или источника энергии, поэтому ЭДС равна сумме напряжения на зажимах и внутреннего падения напряжения: e1 = UAB+ UB = UAB+ IrB1, а напряжение на зажимах генератора равно:
UAB= e1 -IrB1
Следовательно, напряжение на зажимах источника, отдающего энергию, или генератора, равно разности ЭДС и внутреннего падения напряжения.
Если две ЭДС включены согласно, то общая ЭДС в цепи будет равна: e= e1 +e2
Развиваемая источником мощность: e1I = UABI +UBI = UAB+ I2rв1
Итак, напряжение на зажимах источника равно разности потенциалов между его зажимами (+) и (-): U = j+ — j— = e+ (-)Irв, где знак «+» относится к работе цепи в режиме потребителя, а знак «-» относится к работе цепи в режиме генератора.
Законы электрических цепей
Закон Ома
Пусть имеется однородный участок цепи — им может служить кусок металла постоянного сечения, все точки которого имеют одинаковую температуру, и пусть на концах этого проводника поддерживается неизменная разность потенциалов U. Тогда, согласно закону Ома, в однородном участке цепи сила тока пропорциональна разности потенциалов на концах участка:
U = IR, I = U/R, R = U/I
Существуют участки цепи, в которых зависимость силы тока от разности потенциалов на их концах нелинейна. В этом случае рассматривают среднее значение сопротивления:
Переходя к пределу при условии, что Di-> 0, получаем динамическое сопротивление:
Первый закон Кирхгофа — закон баланса токов в узле
Реальные электрические цепи включают в себя комбинации последовательно и параллельно соединенных нагрузок и генераторов. В рассчитывать разности потенциалов на всех участках цепи и силы токов в них, а также электродвижущие силы источников тока, входящих в данную цепь, можно с помощью закона Ома и закона сохранения заряда. Однако для упрощения расчетов Г. Кирхгофом были предложены два простых правила, нашедших широкое применение в электротехнике.
Первое из них относится к узлам разветвления цепи, в которых сходятся и из которых расходятся токи. Токи, подходящие к узлу, условились считать положительными, а токи, исходящие из узла — отрицательными. В этом случае в каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма всех сил токов равна нулю (первое правило Кирхгофа):
Электрический заряд в узле не накапливается.
Второй закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма ЭДС источников питания в любом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:
Второе закон, по существу, является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.
Закон Джоуля — Ленца
Количество теплоты, выделяемое проводником с током I на сопротивлении R, прямопропорционально произведению квадрата силы тока, на сопротивление и на время прохождения тока:
Условные обозначения источников электрической энергии и элементов цепей
| Условное обозначение | Элемент |
|
Идеальный источник ЭДС Е — электродвижущая сила, Е = const Ro = 0 — внутреннее сопротивление |
|
|
Идеальный источник тока I = const Rвн- внутреннее сопротивление источника тока, Rвн>>Rнаг |
|
|
Активное сопротивление R = const |
|
| Индуктивность L = const | |
| Емкость С = const |
К химическим источникам тока относят гальванические элементы и аккумуляторы. В них заряды переносятся в результате химических реакций. При этом в гальваническом элементе реагенты расходуются необратимо, а в аккумуляторе они могут восстанавливаться путем пропускания через аккумулятор электрического тока противоположного направления от других источников.
Источники электрической энергии относятся к группе активных элементов электротехнических устройств. Если Rо=0 и электродвижущая сила (ЭДС) Е=const, то источник называется идеальным. Аккумуляторная батарея по своим параметрам близка к идеальному источнику ЭДС.
К группе пассивных элементов относятся: активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С.
В электротехнических устройствах одновременно протекают три энергетических процесса:
1 В активном сопротивлении в соответствии с законом Джоуля — Ленца происходит преобразование электрической энергии в тепло.
Мощность, по определению равна отношению работы к промежутку времени, за который эта работа совершается. Следовательно, мощность тока для участка цепи
p = A/t = ui
Полная мощность, вырабатываемая генератором, равна
где R- полное сопротивление замкнутой цепи, называемое омическим или активным;
Р, I — мощность и ток в цепи постоянного тока.
р, i, и — мгновенные значения активной мощности, тока и напряжения в цепи переменного тока,
g — активная проводимость или величина, обратная сопротивлению g=1/R измеряется в сименсах (См).
В соответствии с законом сохранения энергии работа есть мера изменения различных видов энергии. Так, в электродвигателе за счет работы тока возникает механическая энергия, протекают химические реакции и т. д. На резисторах происходит необратимое преобразование энергии электрического тока во внутреннюю энергию проводника.
Если в проводнике под действием тока не происходит химических реакций, то температура проводника должна измениться. Изменение внутренней энергии проводника (количество теплоты) Q равно работе А, которую совершает суммарное поле при перемещении зарядов:
Q = А = uit
Воспользовавшись законом Ома, получим два эквивалентных выражения:
Это и есть закон Джоуля — Ленца.
Если нужно сравнить два резистора по характеру тепловых процессов, происходящих в них, то нужно предварительно выяснить: протекает ли по ним одинаковый ток или они находятся под одинаковым напряжением?
Если по двум резисторам протекают одинаковые токи, то согласно формуле за одно и то же время больше возрастает внутренняя энергия резистора с большим сопротивлением. С таким случаем мы встречаемся, например, в цепи с последовательным соединением резисторов. Последнее обстоятельство следует учитывать при включении в сеть нагрузки (электроплиток, утюгов, электродвигателей и т. д.). Сопротивление подводящих проводов при этом должно быть значительно меньше, чем сопротивление нагрузки. При несоблюдении этого условия в проводах выделится большое количество теплоты, что может привести к их загоранию.
Если же оба резистора находятся под одинаковым напряжением, то согласно формуле быстрее будет нагреваться резистор с меньшим сопротивлением. Такой эффект, в частности, наблюдают при параллельном соединении резисторов.
Термин «сопротивление» применяется для условного обозначения элемента электрической цепи и для количественной оценки величины R.
Сопротивление измеряется в омах (Ом). 1 Ом — это сопротивление проводника, сила тока в котором равна 1 А, если на концах его поддерживается разность потенциалов 1 В:
1 Ом = 1 В/1 А
Электрическое сопротивление R материалов с изменением температуры меняется. Сопротивление металлических проводников линейно возрастает с температурой. У полупроводников и электролитов с увеличением температуры удельное сопротивление уменьшается, причем нелинейно.
Для сравнения проводников по степени зависимости их сопротивления от температуры t вводится величина a, называемая температурным коэффициентом сопротивления. Отсюда
Для практических расчетов в электрических цепях величину R можно принимать постоянной. В этом случае зависимость напряжения на сопротивлении R от силы тока (вольт-амперная характеристика) будет называться линейной. Электрические цепи, в которые включены постоянные по величине сопротивления, также будут линейными.
Энергия электромагнитного поля
Опыт показывает, что в контуре из двух электроламп, соленоида и реостата при отключении источника тока еще некоторое время течет электрический ток, причем сила тока со временем уменьшается от некоторого начального значения до нуля.
Одновременно с током, как известно, исчезает и магнитное поле тока. Так как никаких других источников энергии, которые поддерживали бы электрический ток в контуре, нет, то остается предположить, что энергией обладает само магнитное поле. Найдем начальную энергию W магнитного поля, считая, что она расходуется на индуцирование э. д. с. и тока самоиндукции в контуре, когда магнитный поток убывает от некоторого начального значения до нуля.
Бесконечно малое изменение энергии поля равно элементарной работе тока в контуре:
Но э. д. с. самоиндукции , а сила тока i=dQ/dt. Отсюда
dW = — Lidi
Знак минус указывает, что энергия поля уменьшается. Интегрируя это выражение, находим
где
-потокосцепление;
— индуктивность или коэффициент пропорциональности между током и потокосцеплением;
— ток через катушку.
Потокосцеплением самоиндукции y цепи называется сумма произведений магнитных потоков, обусловленных только током в этой цепи, на число витков, с которыми они сцеплены.
Если все витки пронизываются одним и тем же магнитным потоком Ф, то потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков y=Фw, а w = nI, где I-длина соленоида, n — густота обмотки.
В СИ потокосцепление измеряется в веберах, индуктивность — в генри.
Генри — это индуктивность соленоида, в котором при силе тока 1 А создается магнитный поток 1 Вб.
Зависимость потокосцепления от тока может быть постоянной (линейная зависимость) или нелинейной.
При изменении тока изменяется потокосцепление и в катушке наводится ЭДС самоиндукции:
Знак минус показывает, что ЭДС противодействует изменению тока в цепи.
Напряжение и мощность индуктивности равны:
Мощность может быть как положительной (при намагничивании), так и отрицательной (при размагничивании).
При нарастании тока , направления тока и напряжения совпадают, в индуктивности запасается энергия магнитного поля.
При убывании тока , направления тока и напряжения не совпадают, энергия магнитного поля в индуктивности убывает, возвращается обратно к источнику.
Явление самоиндукции можно наблюдать на опыте, собрав цепь с источником постоянного тока и двумя параллельными ветвями (смотри рисунок выше). Одна ветвь состоит из электролампы Л1 и реостата R, другая — из такой же электролампы Л2 и соленоида. С помощью реостата в обеих ветвях устанавливают одинаковую силу постоянного тока. После включения рубильника видно, что лампа Л2 начинает светиться позже, чем лампа Л1. Это объясняется тем, что в соленоиде индуцируется э. д. с. самоиндукции, препятствующая некоторое время нарастанию силы тока. У разных соленоидов время нарастания силы тока оказывается различным, так как вокруг каждого из них создаются разной величины магнитные потоки, которые индуцируют различные э. д. с. самоиндукции.
